vetor campo elétrico

por carlos carvalho Ter 02 Abr 2013, 22:47

Alguém pode me ajudar a resolver esse exercício?

1- Uma quantidade de cargas positivas Q está uniformemente distribuída ao longo de uma superfície semiesférica de raio R (metade da esfera) com centro na origem.
Determine:
a) O vetor campo elétrico na origem das coordenadas (Deixar a resposta em função de k, Q e R)
b) O valor da massa m da carga q , para que esta fique parada quando colocada em repouso na origem das coordenadas. (Deixar a resposta em função de K, g, Q, q e R )
Dica: O elemento de superfície em coordenadas esféricas é dS = R² sen θ d θ d φ

por **aryleudo** Ter 09 Abr 2013, 16:15

carlos carvalho escreveu:Alguém pode me ajudar a resolver esse exercício?

1- Uma quantidade de cargas positivas Q está uniformemente distribuída ao longo de uma superfície semiesférica de raio R (metade da esfera) com centro na origem.
Determine:

Dica: O elemento de superfície em coordenadas esféricas é dS = R² sen θ d θ d φ

a) O vetor campo elétrico na origem das coordenadas (Deixar a resposta em função de k, Q e R)

A densidade superficial ( $\sigma$ ) da casca hemisférica é:
$\sigma =\frac{Q}{S}=\frac{Q}{\frac{4\pi R^2}{2}}=\frac{Q}{2\pi R^2}$

$\sigma =\frac{dq}{dS}=\frac{dq}{R^2sen(\theta)d\theta d\phi}$

Encontrando o campo elétrico na origem:
$\\E=\int dE_y=\int dEcos(\theta)=\int \frac{1}{4\pi\varepsilon _0}\cdot \frac{dq}{R^2}\cdot cos(\theta)\\E=\int \frac{1}{4\pi\varepsilon _0}\cdot \frac{\sigma R^2sen(\theta)d\theta d\phi}{R^2}\cdot cos(\theta)=\frac{1}{4\pi\varepsilon _0}\sigma\cdot \left (\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}sen(\theta)cos(\theta) \cdot\int_{0}^{2\pi}d\phi \right ) \\ E = k\sigma\cdot \left (\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{2sen(\theta)cos(\theta) }{2} \cdot\int_{0}^{2\pi}d\phi \right ) =\frac{k\sigma}{2}\cdot \left (\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}sen(2\theta) \cdot\int_{0}^{2\pi}d\phi \right )\\ E =\frac{k\sigma}{2}\left [ \frac{-cos(2\theta)}{2} \right ]_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left [ \phi \right ]_{0}^{2\pi}=\frac{k\sigma}{2}\cdot \left [ \frac{-cos(\pi)}{2} +\frac{cos(0)}{2}\right ]\cdot \left [ 2\pi-0 \right ]\\ E = \frac{k\sigma}{2}\cdot 1\cdot 2\pi= k\pi \sigma= k\pi\cdot \frac{Q}{2\pi R^2}= \boxed{\frac{kQ}{2R^2}}$

b) O valor da massa m da carga q , para que esta fique parada quando colocada em repouso na origem das coordenadas. (Deixar a resposta em função de K, g, Q, q e R )

É só fazer o Peso (P = mg) igual a Força Elétrica (F = qE)... CONCLUA!!!

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