Periodo função trigonométrica

Seja f: R -> R a função definida por

f(x) = 2.sen2x - cos2x

então:

a) f é impar e periódica de período pi
b) f é par e periódica de período pi/2
c) f não é par nem ímpar e é periódica de período pi
d) f não é par e é periódica de período pi/4
e) f não é ímpar e não é periódica

resposta:

Spoiler:

f(x) = 2sen2x - cos2x
f(-x) = 2sen(-2x) - cos(-2x)
f(-x) = -2sen(2x) - cos(2x) , logo nao é função par nem ímpar.
aplicando o 'truque' do triângulo retângulo :
f(x) = √5 [(2/√5)sen2x - (1/√5)cos2x ]
f(x) = √5 [ cosθ sen2x - senθcos2x] , onde θ é um ângulo qualquer
f(x) = √5 sen(θ + 2x), logo o período é P = 2pi/2 = pi , letra c

Muito obrigado, Luck. Eu só não entendi, como você pensou exatamente no número V5 pra desenvolver a identidade... Obrigado!

f(x) = 2sen2x - cos2x

f(x) = 2.sen2x - 1.cos2x

| f(x) |² = 2² + (-1)² -----> | f(x) |² = 5 -----> | f(x) | = √5

A, perfeito, obrigadão Elcio!! Boa noite.

O √5 nao é o módulo de f(x) , é apenas pitágoras dos coeficientes de sen2x e cos2x , onde representa a hipotenusa de um triângulo retângulo. Veja este tópico que ja ta melhor explicado:
https://pir2.forumeiros.com/t23519-fuvest-seno-cosseno

gusttavon escreveu:Seja f: R -> R a função definida por

f(x) = 2.sen2x - cos2x

então:

a) f é impar e periódica de período pi
b) f é par e periódica de período pi/2
c) f não é par nem ímpar e é periódica de período pi
d) f não é par e é periódica de período pi/4
e) f não é ímpar e não é periódica

resposta:

Spoiler:

Ser ímpar: f(-x) = -f(x) para todo x € D(f) (I)
Ser par: f(-x) = f(x) para todo x € D(f) (II)
Ser nem par e nem ímpar: Não satisfazer (I) e (II)

f(-x) = 2sen(2(-x)) - cos(2(-x))
→ f(-x) = -2sen(2x) - cos(2x) = -[2sen(2x) + cos(2x)]
É facil notar que f(-x) não satisfazer (I) e (II).
Logo f é não par e não ímpar:
Período de função seno/Período de função cosseno: P = 2π/|c| , onde c é o termo que "acompanha" o x da função.
Exemplo rápido: sen(50x) → p = 2π/|50|

Para o nosso problema:
p/sen2x: p' = 2π/2 = π
p/cos2x: p" = 2π/2 = π
Multiplicar uma função periódica por uma constante real, não altera seu período (apenas sua amplitude).
Além disso, a soma(incluo aqui, a diferença também) de duas funções periódicas de mesmo período, tem seu período conservado.
Logo, período de f(x) = π