Progressão Aritimética Prove

Prove que, se (a1, a2, a3, ..., an) é P.A., com n > 2, então {(a2)^2 - (a1)^2, (a3)^2 - (a2)^2, (a4)^2
> - (a3)^2, ..., (an)^2 - [a(n-1)]^2} também é.

(a1, a2, a3, ..., an) P.A de razão r

(a3² - a2²) - (a2² - a1²) = (a3+a2)(a3-a2) - (a2+a1)(a2-a1) -->
r(a3+a2) - r(a2+a1) --> r(a3 -a1) = 2r²

(a4² - a3²) - (a3² - a2²) --> (a4+a3)(a4-a3) - (a3+a2)(a3-a2) -->
r(a4+a3) - r(a3+a2) --> r (a4-a2) = 2r²

[(an)² - (a(n-1))²] - [(a(n-1)² -an(n-2)² ] --> r(an + a(n-1) ) - r( a(n-1) +a(n-2) )
--> r( an - a(n-2) )= 2r²

Logo a outra sequência também é uma PA , de razao 2r².
Obs: nao achei necessário fazer indução, pois foi mostrado sem hipótese que a(n)' - a(n-1)' também é igual a 2r² .

Onde o n>2 entra nessa questão?

Se n = 2 , não existiriam os termos a3 e a4 do enunciado

Se n = 1 não existiriam os termos a2, a3 e a4 do enunciado

Se n = 0 não existiria PA

Elcioschin mas aonde eu vejo isso se eu colocar n = 2 n existia o a3 e a4.

Se n = 1 e n = 0 tb....

A solução do luck eu entendi E cheguei no 2r^2.


Mas na PA (a1, a2, ..., an) a razão é R e não 2r^2...

O próprio enunciado exige n > 2

Se n = 2 só existiriam a1 e a2

Essa parte do n > 2 entendi....

Mas na PA (a1, a2, a3, ... , an) a razão é R e
Na outra é 2r^2...

É só pra mostrar q a outra PÁ é tb uma PÁ só q de razão 2r^2?

Sim:

Na 1ª PA ---> r = a2 - a1 = a3 - a2 = a4 - a3 .....

Note que a3 - a1 = 2.r

(a3² - a2²) - (a2² - a1²) = (a3+a2).(a3-a2) - (a2+a1).(a2-a1) --->

r.(a3+a2) - r.(a2+a1) --> r.(a3 -a1) = r.(2.r) = 2.r²

Obg pela ajuda