Radiciação

por nandofab Sáb 16 Mar 2013, 19:36

Determine o valor de S= $\frac{1}{\sqrt[3]{1} + \sqrt[3]{2} + \sqrt[3] {4}} + ... + \frac{1}{\sqrt[3]{26^{2}} +\sqrt[3]{26.27} + \sqrt[3]{27^2} }$ onde o k-ésimo termo possui a forma $\frac{1}{\sqrt[3]{k^2} +\sqrt[3]{k(k+1)} + \sqrt[3]{(k+1)^2}}$

por Luck Sáb 16 Mar 2013, 20:39

A ideia é lembrar da fatoração: a³ - b³ = (a-b)(a² + ab + b²)
sendo o k-ésimo termo:
x = 1/(cbrt(k²) + cbrt[k(k+1)] + cbrt[(k+1)²] )
multiplicando por cbrt(k+1) - cbrt(k), obtemos:
x = [cbrt(k+1) - cbrt(k) ] / [cbrt(k+1)³ - cbrt(k³) ]
x = [cbrt(k+1) - cbrt(k)]
temos entao uma soma telescópica:
S = cbrt(2) - cbrt(1) + cbrt(3) - cbrt(2) + cbrt(4) - cbrt(3) + ... + cbrt(27) - cbrt(26)

S = cbrt(27) - cbrt(1)
S = 3 - 1
S = 2

por nandofab Dom 17 Mar 2013, 00:40

Nunca tinha ouvido falar dessa soma oO. Só não entendi essa parte: " x = [cbrt(k+1) - cbrt(k) ] / [cbrt(k+1)³ - cbrt(k³) ]
x = [cbrt(k+1) - cbrt(k)]"
Como vc fez para o denominador sumir? Obrigado!

por Luck Dom 17 Mar 2013, 00:50

nandofab escreveu:Nunca tinha ouvido falar dessa soma oO. Só não entendi essa parte: " x = [cbrt(k+1) - cbrt(k) ] / [cbrt(k+1)³ - cbrt(k³) ]
x = [cbrt(k+1) - cbrt(k)]"
Como vc fez para o denominador sumir? Obrigado!

cbrt(k+1)³ - cbrt(k)³ = (k+1) - k --> 1