Triângulo Retângulo

por ricardo2012 Sex 01 Mar 2013, 09:53

Um barco, ao navegar em linha reta, passa sucessivamente pelos pontos P, Q e R. Um tripulante, quando está no ponto P, observa o farol sob o ângulo de FPR = 30, conforme a figura abaixo, depois de navegar mais 4 km até o ponto Q, verifica o ângulo FQR = 75.
Logo, a distância do farol até o ponto R é:
Dado: tg 75 = 2 + √3

A) √3 km B) √3/3 km C) 3√3 km D) (√3 - 1) km E) (√3 + 1) km

Spoiler:

por **Giiovanna** Sex 01 Mar 2013, 10:33

No triângulo FQR, temos que RFQ = 90-75 = 15º
No triângulo PFR, temos que PFR = 90 - 30 = 60º
No triângulo PQF, temos que PQF = 180-78 = 105º e PFQ = 180-135 = 45º

I) Aplicando o teorema dos senos em PQF:

4/sen45º = FQ/sen30°
4/V2/2 = FQ/1/2
4 = V2.FQ, FQ = 2V2

Como 75 e 15º são complementares: sen15º = cos75º e sen75º = cos15º

Supondo um triângulo retângulo cujo um dos ângulos é 75º, o catego oposto é 2+V3 e o adjacente, 1, pelo teorema de pitágoras:

h^2 = (2+V3)^2 + 1
h^2 = 4 + 4V3 + 3
h^2 = 7 + 4V3
h = V7 +2V(V3)

Assim, basta achar o seno de 75º e aplicar para o triângulo FQR, conseguindo calcular FR e tendo a medida FQ

Triângulo Retângulo

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