Conhecendo as Integrais (2)

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Conhecendo as Integrais (2)

Mensagem por Euclides em Dom Fev 10 2013, 13:09

Neste segmento vamos explorar um pouco mais a noção de integral como cálculo de uma área, sua relação com as derivadas e o cálculo das integrais de funções polinomiais.

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vimos que a notação acima (um legado de Leibnitz) representa o limite de um somatório que calcula a área localizada sob a curva da função [Você precisa estar registrado e conectado para ver este link.] no intervalo [Você precisa estar registrado e conectado para ver este link.].

Vamos considerar uma função que já conhecemos: [Você precisa estar registrado e conectado para ver este link.]. Sabemos que, sendo uma função do primeiro grau, o gráfico das velocidade em função do tempo para o movimento uniformemente variado é uma reta.

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aprendemos também a calcular o espaço percorrido pela área delimitada pelo gráfico da velocidade. Com o que sabemos agora já podemos escrever isso como

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ou seja: a integral da função velocidade em relação ao tempo fornece o espaço percorrido num certo intervalo de tempo dado.

Contudo, já havíamos aprendido que a derivada da função dos espaços fornecia a função velocidade. O que temos é então

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derivamos espaço e obtemos velocidade, integramos a velocidade e obtemos espaço. Derivação e integração são operações reversas. Vamos examinar melhor isso. Examinemos um grupo de funções do espaço muito parecidos:

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essas funções diferem apenas no espaço (posição) inicial. Se derivarmos cada uma delas buscando encontrar as funções velocidades equivalentes a cada uma teremos

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todas fornecem a mesma derivada! É claro que o movimento em si não depende da posição inicial, mas apenas da velocidade inicial e da aceleração. Em todos os casos o espaço percorrido no mesmo intervalo de tempo será igual. Isso nos conduz às integrais definidas e integrais indefinidas.

Se integramos a função velocidade entre dois intervalos de tempo definidos, encontramos a variação dos espaços que é, obviamente, igual em todas as funções do espaço acima.

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Isso é o que chamamos Integral Definida. Porém, se desejamos integrar a velocidade, deixando em aberto o intervalo de tempo de maneira a sermos conduzidos, não a um valor da variação dos espaços, mas à própria função dos espaços, isso nos dará uma incerteza representada pela constante independente. Diremos que a integral indefinida

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em que a constante de integração C indica as várias possibilidades. Já podemos agora conhecer a primeira regra de integração: a integral das funções polinomiais

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o expoente é aumentado em uma unidade e também, nesse valor, se torna denominador. Exemplo:

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Mais uma vez, como no caso das derivadas, essa nova ferramenta extende nossos horizontes de cálculo muito além das funções do segundo grau, para as fronteiras de qualquer tipo de movimento variado sem uniformidade, ou as funções de qualquer grau.
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