Triângulo isósceles
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Triângulo isósceles
Relembrando a primeira mensagem :
O triângulo ABC é isósceles com AB=AC e BÂC=20graus. Se AD=BC, determine a medida do ângulo BDC.
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Resposta=30 graus
Desculpem a imagem ficou pequena.
O triângulo ABC é isósceles com AB=AC e BÂC=20graus. Se AD=BC, determine a medida do ângulo BDC.
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Resposta=30 graus
Desculpem a imagem ficou pequena.
J. Michael- iniciante
- Mensagens : 6
Data de inscrição : 04/12/2012
Idade : 28
Localização : Curitiba Paraná Brasil
Re: Triângulo isósceles
Sim, já vi bastantes resoluções com essas imposições, mas sempre tento escapar. Não saberia, por exemplo, explicar por que a condição é válida.
Giiovanna- Grupo
Velhos amigos do Fórum - Mensagens : 2128
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Idade : 26
Localização : São Paulo, SP
Re: Triângulo isósceles
Você está certa. Neste caso particular acho muito claro, porque o segmento que você está impondo a condição você garante que ele "cabe ali" . Particularmente, diante desses "enigmas", me preocupo mais em tentar uma saída para resolução, e"se possível" garantir a sua veracidade, se não consigo, cabe aos "teóricos" provarem o contrário.
raimundo pereira- Grupo
Velhos amigos do Fórum - Mensagens : 5935
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Idade : 79
Localização : São Paulo
Re: Triângulo isósceles
[Você precisa estar registrado e conectado para ver este link.] escreveu:Você está certa. Neste caso particular acho muito claro, porque o segmento que você está impondo a condição você garante que ele "cabe ali" . Particularmente, diante desses "enigmas", me preocupo mais em tentar uma saída para resolução, e"se possível" garantir a sua veracidade, se não consigo, cabe aos "teóricos" provarem o contrário.
Entendo

Giiovanna- Grupo
Velhos amigos do Fórum - Mensagens : 2128
Data de inscrição : 31/08/2012
Idade : 26
Localização : São Paulo, SP
Re: Triângulo isósceles
Raimundo
Escolher o ponto E tal que BE = ED é uma imposição perfeitamente possível
No entanto, faltou provar que este dois segmentos são iguais a AD
Note também, que na sua solução, não foi usada a informação AD = BC
Escolher o ponto E tal que BE = ED é uma imposição perfeitamente possível
No entanto, faltou provar que este dois segmentos são iguais a AD
Note também, que na sua solução, não foi usada a informação AD = BC
Elcioschin- Grande Mestre
- Mensagens : 60316
Data de inscrição : 15/09/2009
Idade : 74
Localização : Santos/SP
Re: Triângulo isósceles
[Você precisa estar registrado e conectado para ver este link.] escreveu:Raimundo
Escolher o ponto E tal que BE = ED é uma imposição perfeitamente possível
No entanto, faltou provar que este dois segmentos são iguais a AD
Note também, que na sua solução, não foi usada a informação AD = BC
Pensei que com o dado AD = BC seria um problema de semelhança. Mas não vi nenhum triângulo semelhante.
Giiovanna- Grupo
Velhos amigos do Fórum - Mensagens : 2128
Data de inscrição : 31/08/2012
Idade : 26
Localização : São Paulo, SP
Re: Triângulo isósceles
Outra solução, por trigonometria:
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S = S(ABD) + S(BDC)
(l²sen20)/2 = (lksen20)/2 + (k(l-k)sen80)/2
2l²sen10cos10 = 2lksen10cos10 + k(l-k)cos10
2l²sen10 = 2lksen10 + k(l-k)
2l²sen10 - lk(2sen10+1) - k² = 0
dividindo por l² :
2sen10 - (k/l)(2sen10 + 1) + (k/l)² = 0
(k/l)² - (2sen10+1)(k/l) + 2sen10 = 0
∆ = (2sen10+1)² - 4.1.(2sen10)
∆ = 4sen²10 + 4sen10 + 1 - 8sen10
∆ = 4sen²10 -4sen10 + 1
∆ = (2sen10-1)²
k/l = [(2sen10 +1) +- (2sen10-1)] / 2
k/l = 1 F , ou k/l = 2sen10 --> k = 2lsen10
Lei dos senos triângulo ABD:
k/sen(80-a) = l/sen(80+a)
a+80+x = 180 --> a = 100 - x
2lsen10 / sen(x-20) = l/sen(180-x)
sen(x-20) = 2sen10.sen(180-x)
sen(x-20) = 2sen10.senx
é fácil ver que x = 30º --> sen10 = 2sen10.sen30 -> sen30 = 1/2
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S = S(ABD) + S(BDC)
(l²sen20)/2 = (lksen20)/2 + (k(l-k)sen80)/2
2l²sen10cos10 = 2lksen10cos10 + k(l-k)cos10
2l²sen10 = 2lksen10 + k(l-k)
2l²sen10 - lk(2sen10+1) - k² = 0
dividindo por l² :
2sen10 - (k/l)(2sen10 + 1) + (k/l)² = 0
(k/l)² - (2sen10+1)(k/l) + 2sen10 = 0
∆ = (2sen10+1)² - 4.1.(2sen10)
∆ = 4sen²10 + 4sen10 + 1 - 8sen10
∆ = 4sen²10 -4sen10 + 1
∆ = (2sen10-1)²
k/l = [(2sen10 +1) +- (2sen10-1)] / 2
k/l = 1 F , ou k/l = 2sen10 --> k = 2lsen10
Lei dos senos triângulo ABD:
k/sen(80-a) = l/sen(80+a)
a+80+x = 180 --> a = 100 - x
2lsen10 / sen(x-20) = l/sen(180-x)
sen(x-20) = 2sen10.sen(180-x)
sen(x-20) = 2sen10.senx
é fácil ver que x = 30º --> sen10 = 2sen10.sen30 -> sen30 = 1/2
Luck- Grupo
Velhos amigos do Fórum - Mensagens : 5322
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Idade : 28
Localização : RJ
Re: Triângulo isósceles
Òtima resolução Luck .
raimundo pereira- Grupo
Velhos amigos do Fórum - Mensagens : 5935
Data de inscrição : 13/06/2012
Idade : 79
Localização : São Paulo
Re: Triângulo isósceles
Luck
Solução excelente; acho que merece ir para o hall das questões fora de série!
Solução excelente; acho que merece ir para o hall das questões fora de série!
Elcioschin- Grande Mestre
- Mensagens : 60316
Data de inscrição : 15/09/2009
Idade : 74
Localização : Santos/SP
Outra solução - colega Ashitaka
Mais uma solução, apresentada pelo colega Ashitaka:
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∆ABC:
x/sen20 = y/sen80
x/y = sen20/sen80
∆ACD:
x/sen(a-20) = y/sena
x/y = sen(a-20)/sena
sen20/sen80 = sen(a-20)/sena
2sen10*cos10/cos10 = cos20 - sen20cotga
cotga = (cos20 - 2sen10)/sen20
cotga = (cos20 - cos80 - sen10)/sen20
cotga = (-2sen50sen(-30) - sen10)/sen20
cotga = (sen50 - sen10)/sen20
cotga = (2sen20cos30)/sen20 = √3 ----> a = 30°.
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∆ABC:
x/sen20 = y/sen80
x/y = sen20/sen80
∆ACD:
x/sen(a-20) = y/sena
x/y = sen(a-20)/sena
sen20/sen80 = sen(a-20)/sena
2sen10*cos10/cos10 = cos20 - sen20cotga
cotga = (cos20 - 2sen10)/sen20
cotga = (cos20 - cos80 - sen10)/sen20
cotga = (-2sen50sen(-30) - sen10)/sen20
cotga = (sen50 - sen10)/sen20
cotga = (2sen20cos30)/sen20 = √3 ----> a = 30°.
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In memoriam - Euclides faleceu na madrugada do dia 3 de Abril de 2018.
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Lembre-se de que os vestibulares têm provas de Português também! Habitue-se a escrever corretamente em qualquer circunstância!
O Universo das coisas que eu não sei é incomensuravelmente maior do que o pacotinho de coisas que eu penso que sei.
Euclides- Fundador
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