Triângulo isósceles

por J. Michael Seg 04 Fev 2013, 18:49

Relembrando a primeira mensagem :

O triângulo ABC é isósceles com AB=AC e BÂC=20graus. Se AD=BC, determine a medida do ângulo BDC.
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Resposta=30 graus
Desculpem a imagem ficou pequena.

por **Giiovanna** Ter 05 Fev 2013, 16:41

Sim, já vi bastantes resoluções com essas imposições, mas sempre tento escapar. Não saberia, por exemplo, explicar por que a condição é válida.

por **raimundo pereira** Ter 05 Fev 2013, 17:00

Você está certa. Neste caso particular acho muito claro, porque o segmento que você está impondo a condição você garante que ele "cabe ali" . Particularmente, diante desses "enigmas", me preocupo mais em tentar uma saída para resolução, e"se possível" garantir a sua veracidade, se não consigo, cabe aos "teóricos" provarem o contrário.

por **Giiovanna** Ter 05 Fev 2013, 17:01

raimundo pereira escreveu:Você está certa. Neste caso particular acho muito claro, porque o segmento que você está impondo a condição você garante que ele "cabe ali" . Particularmente, diante desses "enigmas", me preocupo mais em tentar uma saída para resolução, e"se possível" garantir a sua veracidade, se não consigo, cabe aos "teóricos" provarem o contrário.

Entendo

por **Elcioschin** Ter 05 Fev 2013, 17:15

Raimundo

Escolher o ponto E tal que BE = ED é uma imposição perfeitamente possível
No entanto, faltou provar que este dois segmentos são iguais a AD
Note também, que na sua solução, não foi usada a informação AD = BC

por **Giiovanna** Ter 05 Fev 2013, 17:25

Elcioschin escreveu:Raimundo

Escolher o ponto E tal que BE = ED é uma imposição perfeitamente possível
No entanto, faltou provar que este dois segmentos são iguais a AD
Note também, que na sua solução, não foi usada a informação AD = BC

Pensei que com o dado AD = BC seria um problema de semelhança. Mas não vi nenhum triângulo semelhante.

por Luck Ter 05 Fev 2013, 18:01

Outra solução, por trigonometria:
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S = S(ABD) + S(BDC)
(l²sen20)/2 = (lksen20)/2 + (k(l-k)sen80)/2
2l²sen10cos10 = 2lksen10cos10 + k(l-k)cos10
2l²sen10 = 2lksen10 + k(l-k)
2l²sen10 - lk(2sen10+1) - k² = 0
dividindo por l² :
2sen10 - (k/l)(2sen10 + 1) + (k/l)² = 0
(k/l)² - (2sen10+1)(k/l) + 2sen10 = 0

∆ = (2sen10+1)² - 4.1.(2sen10)
∆ = 4sen²10 + 4sen10 + 1 - 8sen10
∆ = 4sen²10 -4sen10 + 1
∆ = (2sen10-1)²

k/l = [(2sen10 +1) +- (2sen10-1)] / 2
k/l = 1 F , ou k/l = 2sen10 --> k = 2lsen10

Lei dos senos triângulo ABD:
k/sen(80-a) = l/sen(80+a)
a+80+x = 180 --> a = 100 - x

2lsen10 / sen(x-20) = l/sen(180-x)
sen(x-20) = 2sen10.sen(180-x)
sen(x-20) = 2sen10.senx
é fácil ver que x = 30º --> sen10 = 2sen10.sen30 -> sen30 = 1/2

por **raimundo pereira** Ter 05 Fev 2013, 19:05

Òtima resolução Luck .

por **Elcioschin** Qua 06 Fev 2013, 16:33

Luck

Solução excelente; acho que merece ir para o hall das questões fora de série!

uma conta · por **Euclides** Sex 24 Abr 2015, 14:22

Mais uma solução, apresentada pelo colega Ashitaka:

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∆ABC:
x/sen20 = y/sen80
x/y = sen20/sen80

∆ACD:
x/sen(a-20) = y/sena
x/y = sen(a-20)/sena

sen20/sen80 = sen(a-20)/sena
2sen10*cos10/cos10 = cos20 - sen20cotga
cotga = (cos20 - 2sen10)/sen20
cotga = (cos20 - cos80 - sen10)/sen20
cotga = (-2sen50sen(-30) - sen10)/sen20
cotga = (sen50 - sen10)/sen20
cotga = (2sen20cos30)/sen20 = √3 ----> a = 30°.