Complemento 1 - Definição de Derivada

Definição: A derivada de uma função "f" em um número "p", denotada por "f'(p)" (lê-se: f linha de p), é dada por



se o limite existe.

Dizemos que "f" é uma função derivável ou diferenciável no conjunto A contido no conjunto D_f
(domínio da função f) se "f" for derivável em cada "a" pertencente ao
conjunto A. Ou simplesmente, que "f" é uma função derivável ou
diferenciável se "f" for derivável em cada ponto de seu domínio.

Exemplo 01:
Seja . Calcule.
a)

b)

OBS.: Note que f'(x) = 2x é uma fórmula que nos fornece a derivada de f(x) = x², para todo x real.

Pela definição da derivada temos:



Então,
a reta que toca o gráfico de f no ponto (p, f(p)) é tangente. Assim, a
derivada de f, em p, é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico
de f no ponto de abscissa p.

Exemplo 02:
Determine a equação da reta tangente em (2, 4) sendo dado a função f(x) = x².

Teorema. Seja n ≠ 0 um número natural. São válidas as fórmulas de derivação:
a) .

b), x ≠ 0.

c) , onde x > 0 se n for par e x ≠ 0 se n for ímpar (n≥2).

Exemplo 03:
Calcule a derivada das funções abaixo utilizando o teorema dado:
a)

b)

c)

1 - Seja f(x) = x² 1. Utilize a definição de derivada para calcular:
a) f'(1) -----------------------------{RESP.: 2}
b) f'(0) -----------------------------{RESP.: 0}
c) f'(x) -----------------------------{RESP.: 2x}

2 - Determine a equação da reta tangente que passa pelo ponto de abscissa 1 sendo dado a função
f(x)=x²-x.-----------------------------{y=x-1}

3 - Calcule g'(x) sendo g dada por:
a) g(x) = x¹⁰⁰-----------------------------{g'(x) = 100x⁹⁹}
b) g(x) = ------------------------------{g'(x) = }
c) g(x) = ----------------------------{g'(x) = }