Questão interessante

por Sniper Dog Qua 23 Jan 2013, 14:23

Quantos triângulos isósceles cujos lados são números inteiro tem perímetro igual a 2007 ?

por **ramonss** Qua 23 Jan 2013, 14:44

Lados: a, a, b;

Perímetro: 2a + b;

2a + b = 2007
O menor valor para b é 1:
2a = 2006 => a = 1003
O maior valor para b é 2005
2a = 2 => a = 1

Portanto a varia de 1 até 1003... temos 1003 triangulos diferentes?

por **Leonardo Sueiro** Qua 23 Jan 2013, 15:00

2x + y = 2007
x = (2007 - y)/2

Para "(2007 - y)/2" ser divisível por 2, y tem que ser ímpar.

Temos que obter a quantidade de termos de uma PA que vai de 1 até o máximo valor permitido para y e que tem razão 2(y é ímpar):

Os valores permitidos para y tem que satisfazer 2x > y (a soma de dois lados do triângulo tem que ser maior que o outro lado)

Voltemos à expressão inicial: x = (2007 - y)/2

Vamos descobrir quando 2x = y:
y + y = 2007
y = 1003,5
Como y tem que ser inteiro, y = 1003

Esse é o valor limite para y.
1003 = 1 + (n - 1)2
501 + 1 = n
n = 502

por Glauber Damasceno Qua 23 Jan 2013, 15:05

Ramoss , observe só :

O lado a ( medida da base) e b ( medida dos lados )
a + 2b = 2007

Para que se tenha sempre um valor inteiro de b , o valor 'a' só poderá ser ímpar :
a = 1, b =1003
a = 3 , b= 1002
a =5 , b= 1001, ...

Pela condição de existência , a<2b
O maior valor possível para o caso o 'a' , será quando a = 1003 e 2b =1004.

Logo os valores de 'a' são : 1,3,5,7,...,1003
De b : 1003 ,1002,1001,1000,..., 502

Portanto são 502 triângulos isósceles de lados inteiros e perímetro 2007.

por **Leonardo Sueiro** Qua 23 Jan 2013, 15:05

Ramonns,

Para a = 1:

2*1 + b = 2007
b = 2005

Acho impossível existir um triângulo com base 2005 e dois lados 1.

por Glauber Damasceno Qua 23 Jan 2013, 15:07

Opa .. malz camarada leosueiro . Não vi que tinha postado ..

De qualquer forma tá valendo .

por **Leonardo Sueiro** Qua 23 Jan 2013, 15:07

Relaxa huahua =)

Meio improvável duas pessoas errarem quando resolvem de forma independente.
Então acho que é 502 mesmo.

Abraços.

por Glauber Damasceno Qua 23 Jan 2013, 15:09

Sueiro esse caso é impossível mesmo , pois não satisfaz a condição de existência , que diz :
'' A soma de qualquer de dois lados de um triângulo sempre será maior que a medida do outro''.