velocidade do som e o tempo

Apoiado sobre patins numa superfície horizontal sem atrito, um atirador dispara um projétil
de massa m com velocidade v contra um alvo a uma distância d. Antes do disparo, a massa total do
atirador e seus equipamentos é M. Sendo vs a velocidade do som no ar e desprezando a perda de energia
em todo o processo, quanto tempo após o disparo o atirador ouviria o ruído do impacto do projétil no
alvo?

A ( )d(vs+v)(M−m)/v(M vs−m(vs+v))
B ( )d(vs+v)(M+m)/v(M vs+m(vs+v))
C ( )d(vs−v)(M+m)/v(M vs+m(vs+v))
D ( )d(vs+v)(M−m)/v(M vs−m(vs−v))
E ( )d(vs−v)(M−m)/v(M vs+m(vs+v))

Quando o atirador dispara a bala com velocidade v, ele move-se para trás com velocidade v', com sentido contrário a v. Pela conservação da quantidade de movimento:

Q0=Qf
M*0 = mv - (M-m)v'
v'= mv/(M-m) (I)

Até a bala atingir o alvo, onde será "produzido" o som, percorre um tempo Tx:

Em Tx, a bala anda d = vTx, e o atirador anda Dx = v'Tx

Tx = d/v = Dx/v'

Dx= dv'/v (II)

Substituindo (I) em (II):

Dx = d mv/(M-m)/v= dm/(M-m)

Depois de atingir o alvo, o atirador anda Dy e o som percorre d+Dx+Dy, até chegar ao atirador. Nesse processo, passa-se um tempo Ty:

Dy = v' Ty
Dy = Ty.mv/(M-m)

(d+Dx+Dy) = vs Ty
Ty vs = d+(Ty.mv/(M-m)) + (dm/(M-m))

Ty (vs-(mv/(M-m))) = d(1+m/(M-m))
Ty ((M-m)vs - mv)/(M-m)= dM/(M-m)
Ty = dM/((M-m)vs - mv)

T total = T = Ty+Tx

T = dM/((M-m)vs - mv) + d/v
T = d(M/((M-m)vs - mv)+1/v)
T = d(Mv+(M-m)vs-mv)/v((M-m)vs - mv)
T = d(Mv+Mvs-mvs-mv)/v(Mvs-mvs-mv)
T = d(M(v+vs) -m(v+vs))/v( M vs - m(v+vs))
T = d((v+vs)(M-m))/v( Mvs- m(v+vs))

Alternativa A.

muito bom.

Essa questão já foi postada e resolvida aqui no fórum.
Caiu na prova de Física do ITA do ano passado.
Segue o link: https://pir2.forumeiros.com/t23457-lancamento-de-projeteis-ita-2012-adap-para-dissertativa#79425

mando bem Rafa, conferir o gabarito da apostila e está correto. valeu!

ok João