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(ITA-SP)-Gases perfeitos

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Mensagem por JOAO [ITA] Seg 24 Dez 2012, 05:12

Um mol de gás perfeito está contido em um cilindro de seção S fechado por um pistão móvel, ligado a uma mola de contante elástica k.
Inicialmente o gás está à pressão atmosférica Po e temperatura To, e o comprimento do trecho do cilindro ocupado pelo gás é Lo, com a mola não estando deformada.O sistema gás-mola é aquecido e o pistão se desloca de uma distância x. Denotando a constante de gás por R, encontre uma expressão para o cálculo da temperatura T atingida pelo gás:

(ITA-SP)-Gases perfeitos Semttuloakz



Gabarito:

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Mensagem por Leonardo Sueiro Seg 24 Dez 2012, 08:22

No equílibrio, temos três forças agindo sobre o embôlo: A força criada pela pressão atmosférica; a força criada pelo gás; a força elástica:

Fe + Fatm = Fgás
kx + Po.S = P.S

Po.S.Lo/To = P.S.(Lo + x)/T

Isolando P e substituindo

kx + Po.S = S.Po.Lo.T/(Lo + x)To

S.Po.Lo.T = To(Lo + x)kx + To(Lo + x)Po.S
S.Po.Lo.T = TokxLo + Tokx² + To.Po.S.Lo + To.Po.S.x

Ajeitando a expressão:
S.Po.Lo.T = To.Po.S.Lo + TokxLo + Tokx² + To.Po.S.x
S.Po.Lo.T = To.Po.S.Lo + Tox(kLo + kx + Po.S)

T = To + Tox(kLo + kx + Po.S)/(Po.Lo.S) (1)

Po.Lo.S = R.To (2)

Substituindo 2 em 1:

T = To + Po.Lo.S.x(kLo + kx + Po.S)/(Po.Lo.S)R

T = To + (x/R)(kLo + kx + Po.S)



Fiquei com uma dúvida: É uma questão de alternativas? Pergunto isso porque eu tinha achado uma expressão que não batia com o gabarito, embora fornecesse os mesmos resultados. Ia postá-la, mas resolvi tentar chegar ao gabarito...
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Mensagem por João.N Seg 24 Dez 2012, 10:39

poderia ser assim?

P= pressão, V= volume, T= temperatura

KX + Po.S= P.S
P= Po.S + KX/S
P= Po + KX

V= S.(Lo+X)

PV = nRT

(Po+KX).S(Lo+X) = RT

T = (Po+KX).S(Lo+X)/R


Última edição por João.N em Seg 24 Dez 2012, 16:17, editado 6 vez(es)
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Mensagem por Leonardo Sueiro Seg 24 Dez 2012, 10:41

João, não entendi o que você fez da equação 1 para a equação 2:

FX + Po.S= P.S
P= Po.S + FX/S
P= Po + FX
???
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Mensagem por João.N Seg 24 Dez 2012, 11:06

pequeno erro de digitação mas já corrigir, vê se consegue entender agora
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Mensagem por JoaoGabriel Seg 24 Dez 2012, 12:31

Sim Leo, é uma questão de alternativas.
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Mensagem por Leonardo Sueiro Seg 24 Dez 2012, 13:28

Valeu, João.
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Mensagem por JOAO [ITA] Seg 24 Dez 2012, 14:11

Pois é Leonardo, é sim uma questão de alternativa (eu que adaptei pois estava com um pouco de preguiça de digitar cada alternativa em Latex).

Consegui resolver por Equação de Clapeyron, também:

Minha resolução:

1)Do diagrama de vetores tirei a mesma conclusão inicial sua:

F(gás) = F(elástica) + F(atmosférica) <=> P = (k.x)/S + Po (eq1)

2)Da equação de Clapeyron para situação inicial do gás e para a situação final, pode-se montar um sistema de equações:

P.V = n.R.T (eq2)
Po.Vo = n.R.To (eq3)

Subtraindo (eq3) de (eq2):

P.V - Po.Vo = n.R.(T - To) <=> T - To = (P.V - Po.Vo)/R (eq4)

3)Alem disso, tem-se , também, que:

V = S.(Lo + x) (eq5)
Vo = S.Lo (eq6)

4)Agora, basta colocar substituir (eq5), (eq6) e (eq1) em (eq4) e dar uma "arrumada" nos termos:

T - To = S.[( (k.x)/S + Po ).(Lo + x) -Po.Lo]/R <=>
<=> T - To = [(k.x + Po.S).(Lo + x) - Po.Lo.S]/R <=>
<=> T - To = [k.x.Lo + k.x² + Po.S.Lo - Po.S.Lo + Po.S.x]/R <=>
<=> T - To = x.(k.Lo + k.x + Po.S)/R <=> T = To + (x/R).(Po.S + k.Lo + k.x)




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Mensagem por João.N Seg 24 Dez 2012, 16:20

João, qual é a alternativa?
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Mensagem por JOAO [ITA] Seg 24 Dez 2012, 16:58

Seria a alternativa "E".
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