Conjuntos Numéricos

rihan escreveu:a = (x+y)/2

g = √(x.y)

x ∧ y ∈ ℝ+  ⇒ a ≥ g

1) a ≥ g ⇔ a - g ≥ 0

a ≥ 0  ⇒ a² ≥ 0

g ≥ 0  ⇒ g² ≥ 0

⇒ a² - g² ≥ 0

2) a² - g² ≥ 0

a² - g² = (x² + 2x.y + y²)/4 - x.y ≥ 0

(x² + 2x.y + y²) - 4x.y ≥ 0

x² - 2x.y + y² ≥ 0

(x - y)² ≥ 0

a) Para x = y

(x - y)² = 0

a = g


b) Para x ≠ y

(x - y)² > 0

∀ x, y (x-y)² > 0   ⇒ a - g > 0   ⇒ a > g

■

rihan escreveu:a = (x+y)/2

g = √(x.y)

x ∧ y ∈ ℝ+  ⇒ a ≥ g

1) a ≥ g ⇔ a - g ≥ 0

a ≥ 0  ⇒ a² ≥ 0

g ≥ 0  ⇒ g² ≥ 0

⇒ a² - g² ≥ 0

2) a² - g² ≥ 0

a² - g² = (x² + 2x.y + y²)/4 - x.y ≥ 0

(x² + 2x.y + y²) - 4x.y ≥ 0

x² - 2x.y + y² ≥ 0

(x - y)² ≥ 0

a) Para x = y

(x - y)² = 0

a = g


b) Para x ≠ y

(x - y)² > 0

∀ x, y (x-y)² > 0   ⇒ a - g > 0   ⇒ a > g

■

João Pedro BR escreveu:

rihan escreveu:a = (x+y)/2

g = √(x.y)

x ∧ y ∈ ℝ+  ⇒ a ≥ g

1) a ≥ g ⇔ a - g ≥ 0

a ≥ 0  ⇒ a² ≥ 0

g ≥ 0  ⇒ g² ≥ 0

⇒ a² - g² ≥ 0

2) a² - g² ≥ 0

a² - g² = (x² + 2x.y + y²)/4 - x.y ≥ 0

(x² + 2x.y + y²) - 4x.y ≥ 0

x² - 2x.y + y² ≥ 0

(x - y)² ≥ 0

a) Para x = y

(x - y)² = 0

a = g


b) Para x ≠ y

(x - y)² > 0

∀ x, y (x-y)² > 0   ⇒ a - g > 0   ⇒ a > g

■

Alguém pode me ajudar a saber, nesses problemas algébricos, quando usar a relação de implicação e quando usar a relação de equivalência? Conheço suas definições, mas tenho dificuldade para vê-las aplicadas nestes problemas aí

rihan escreveu:a = (x+y)/2

g = √(x.y)

x ∧ y ∈ ℝ+  ⇒ a ≥ g

1) a ≥ g ⇔ a - g ≥ 0

a ≥ 0  ⇒ a² ≥ 0

g ≥ 0  ⇒ g² ≥ 0

⇒ a² - g² ≥ 0

João Pedro BR escreveu:

rihan escreveu:a = (x+y)/2

g = √(x.y)

x ∧ y ∈ ℝ+  ⇒ a ≥ g

1) a ≥ g ⇔ a - g ≥ 0

a ≥ 0  ⇒ a² ≥ 0

g ≥ 0  ⇒ g² ≥ 0

⇒ a² - g² ≥ 0

2) a² - g² ≥ 0

a² - g² = (x² + 2x.y + y²)/4 - x.y ≥ 0

(x² + 2x.y + y²) - 4x.y ≥ 0

x² - 2x.y + y² ≥ 0

(x - y)² ≥ 0

a) Para x = y

(x - y)² = 0

a = g


b) Para x ≠ y

(x - y)² > 0

∀ x, y (x-y)² > 0   ⇒ a - g > 0   ⇒ a > g

■

Alguém pode me explicar como dá para se assumir isso da última linha (destacada em negrito e vermelho)? Tem que testar algum valor?

Lucas_DN684 escreveu:

João Pedro BR escreveu:

rihan escreveu:a = (x+y)/2

g = √(x.y)

x ∧ y ∈ ℝ+  ⇒ a ≥ g

1) a ≥ g ⇔ a - g ≥ 0

a ≥ 0  ⇒ a² ≥ 0

g ≥ 0  ⇒ g² ≥ 0

⇒ a² - g² ≥ 0

2) a² - g² ≥ 0

a² - g² = (x² + 2x.y + y²)/4 - x.y ≥ 0

(x² + 2x.y + y²) - 4x.y ≥ 0

x² - 2x.y + y² ≥ 0

(x - y)² ≥ 0

a) Para x = y

(x - y)² = 0

a = g


b) Para x ≠ y

(x - y)² > 0

∀ x, y (x-y)² > 0   ⇒ a - g > 0   ⇒ a > g

■

Alguém pode me ajudar a saber, nesses problemas algébricos, quando usar a relação de implicação e quando usar a relação de equivalência? Conheço suas definições, mas tenho dificuldade para vê-las aplicadas nestes problemas aí

Quando duas proposições se relacionam de alguma forma, basicamente há apenas duas maneiras disso ocorrer: através da implicação ou da equivalência. A definição desses operadores lógicos pode ser um pouco abstrata, mas para esclarecer seu significado é necessário voltar à definição e exemplificar. 

Quando dizemos que "p implica q", subtende-se que "p é condição suficiente para q" e que "q é condição necessária para p". Geralmente, q é mais "abrangente" que p, isto é, p é um caso específico do caso geral q. Alguns exemplos que ilustram isso são:

"Se todo homem é mortal e Sócrates é um homem, então ele é mortal."     - Todos os seres vivos são mortais, não apenas os homens;

[latex]x=1 \Rightarrow x^{2}=1[/latex]     - x=-1  também é raiz; 

[latex]A\subset B \Leftrightarrow \forall x, \; x\in A \Rightarrow x\in B[/latex]     - B tem algum elemento exclusivo.

No caso da equivalência, tanto p quanto q são condição necessária e suficiente, ambos os casos com o mesmo nível de abrangência. Por exemplo:

"A condição necessária e suficiente para a morte é estar vivo"     - tudo o que está vivo, desde a bactéria ao homem, morrerá;

[latex]x=1 \; ou \; x=-1 \Leftrightarrow x^{2}=1[/latex]     - as duas raízes são possíveis valores de x;

[latex]A=B\Leftrightarrow \forall x, x \in A \Leftrightarrow x \in B[/latex]     - Todos os elementos de A estão em B.

Agora, na hora de fazer problemas mais complexos o uso de equivalências é uma tarefa mais difícil porque na maioria das vezes não temos certeza de qual restrição fazer num lado da equivalência para que ela se mantenha; noutras vezes, como em manipulações tais quais jogar termos pro outro lado da equação, podemos usar equivalências sem erro. Vamos analisar a solução etapa por etapa para exemplificar.

Queremos provar o seguinte:

[latex]\underset{Hip\acute{o}tese}{\underbrace{a=\frac{x+y}{2} \; \wedge \; g=\sqrt{xy} \; \wedge x \in\mathbb{R_{+}} \; \wedge \; y \in \mathbb{R_{+}}}} \; \Rightarrow \underset{Tese}{\underbrace{a\geq g}}[/latex]

Isso significa que o enunciado, por hipótese, implica no termo à direita da implicação, a tese. Para provarmos que isso é verdadeiro sairemos do lado esquerdo e chegaremos ao lado direito da implicação.

Agora aqui só vai um adendo, a resolução do rihan apresenta um erro conceitual ao qual creio que comprometeu sua demonstração. Note que num trecho temos que:

rihan escreveu:a = (x+y)/2

g = √(x.y)

x ∧ y ∈ ℝ+  ⇒ a ≥ g

1) a ≥ g ⇔ a - g ≥ 0

a ≥ 0  ⇒ a² ≥ 0

g ≥ 0  ⇒ g² ≥ 0

⇒ a² - g² ≥ 0

Note que na última linha ele subtraiu duas inequações, o que é um problema; além do mais, a última linha também só é válida se a≥g, isto é, você está tentando provar algo já assumindo que aquilo é verdadeiro, o que é uma operação errada. Vou deixar a explicação do porquê isso ser um problema à parte pra não sair do foco da resolução.

Porque subtrair inequações não dá certo:

Bem, de início vamos estabelecer a seguinte proposição:

[latex]\left ( \sqrt{x}-\sqrt{y} \right )^{2}\geq 0, \; \forall x,y\in \mathbb{R_{+}}[/latex]

Certo? Não é difícil notar que ela é válida porque satisfazemos o domínio da função raiz quadrada e elevamos o resultado da subtração ao quadrado. Agora, temos que:

[latex]\left ( \sqrt{x}-\sqrt{y} \right )^{2}\geq 0 \; \wedge \; \left ( x,y \right )\in \mathbb{R_{+}}^{2}\Leftrightarrow x-2\sqrt{xy}+y\geq 0 \; \wedge \; \left ( x,y \right )\in \mathbb{R_{+}}^{2} \Leftrightarrow \\\\ \Leftrightarrow \frac{x+y}{2}\geq \sqrt{xy} \; \wedge \; \left ( x,y \right )\in \mathbb{R_{+}}^{2}[/latex]

Como queríamos demonstrar. 

Ah, agora falando de lógica, existe um vídeo muito bom ao qual eu recomendo você ver se você quiser se atentar melhor às situações onde devemos usar implicações e equivalências e como estas últimas podem facilitar a nossa vida nos cálculos. A aula é sobre equações irracionais e seguirá em anexo; um abraço e bons estudos!

Lucas_DN684 escreveu:

João Pedro BR escreveu:

rihan escreveu:a = (x+y)/2

g = √(x.y)

x ∧ y ∈ ℝ+  ⇒ a ≥ g

1) a ≥ g ⇔ a - g ≥ 0

a ≥ 0  ⇒ a² ≥ 0

g ≥ 0  ⇒ g² ≥ 0

⇒ a² - g² ≥ 0

2) a² - g² ≥ 0

a² - g² = (x² + 2x.y + y²)/4 - x.y ≥ 0

(x² + 2x.y + y²) - 4x.y ≥ 0

x² - 2x.y + y² ≥ 0

(x - y)² ≥ 0

a) Para x = y

(x - y)² = 0

a = g


b) Para x ≠ y

(x - y)² > 0

∀ x, y (x-y)² > 0   ⇒ a - g > 0   ⇒ a > g

■

Alguém pode me ajudar a saber, nesses problemas algébricos, quando usar a relação de implicação e quando usar a relação de equivalência? Conheço suas definições, mas tenho dificuldade para vê-las aplicadas nestes problemas aí

Quando duas proposições se relacionam de alguma forma, basicamente há apenas duas maneiras disso ocorrer: através da implicação ou da equivalência. A definição desses operadores lógicos pode ser um pouco abstrata, mas para esclarecer seu significado é necessário voltar à definição e exemplificar. 

Quando dizemos que "p implica q", subtende-se que "p é condição suficiente para q" e que "q é condição necessária para p". Geralmente, q é mais "abrangente" que p, isto é, p é um caso específico do caso geral q. Alguns exemplos que ilustram isso são:

"Se todo homem é mortal e Sócrates é um homem, então ele é mortal."     - Todos os seres vivos são mortais, não apenas os homens;

[latex]x=1 \Rightarrow x^{2}=1[/latex]     - x=-1  também é raiz; 

[latex]A\subset B \Leftrightarrow \forall x, \; x\in A \Rightarrow x\in B[/latex]     - B tem algum elemento exclusivo.

No caso da equivalência, tanto p quanto q são condição necessária e suficiente, ambos os casos com o mesmo nível de abrangência. Por exemplo:

"A condição necessária e suficiente para a morte é estar vivo"     - tudo o que está vivo, desde a bactéria ao homem, morrerá;

[latex]x=1 \; ou \; x=-1 \Leftrightarrow x^{2}=1[/latex]     - as duas raízes são possíveis valores de x;

[latex]A=B\Leftrightarrow \forall x, x \in A \Leftrightarrow x \in B[/latex]     - Todos os elementos de A estão em B.

Agora, na hora de fazer problemas mais complexos o uso de equivalências é uma tarefa mais difícil porque na maioria das vezes não temos certeza de qual restrição fazer num lado da equivalência para que ela se mantenha; noutras vezes, como em manipulações tais quais jogar termos pro outro lado da equação, podemos usar equivalências sem erro. Vamos analisar a solução etapa por etapa para exemplificar.

Queremos provar o seguinte:

[latex]\underset{Hip\acute{o}tese}{\underbrace{a=\frac{x+y}{2} \; \wedge \; g=\sqrt{xy} \; \wedge x \in\mathbb{R_{+}} \; \wedge \; y \in \mathbb{R_{+}}}} \; \Rightarrow \underset{Tese}{\underbrace{a\geq g}}[/latex]

Isso significa que o enunciado, por hipótese, implica no termo à direita da implicação, a tese. Para provarmos que isso é verdadeiro sairemos do lado esquerdo e chegaremos ao lado direito da implicação.

Agora aqui só vai um adendo, a resolução do rihan apresenta um erro conceitual ao qual creio que comprometeu sua demonstração. Note que num trecho temos que:

rihan escreveu:a = (x+y)/2

g = √(x.y)

x ∧ y ∈ ℝ+  ⇒ a ≥ g

1) a ≥ g ⇔ a - g ≥ 0

a ≥ 0  ⇒ a² ≥ 0

g ≥ 0  ⇒ g² ≥ 0

⇒ a² - g² ≥ 0

Note que na última linha ele subtraiu duas inequações, o que é um problema; além do mais, a última linha também só é válida se a≥g, isto é, você está tentando provar algo já assumindo que aquilo é verdadeiro, o que é uma operação errada. Vou deixar a explicação do porquê isso ser um problema à parte pra não sair do foco da resolução.

Porque subtrair inequações não dá certo:

Bem, de início vamos estabelecer a seguinte proposição:

[latex]\left ( \sqrt{x}-\sqrt{y} \right )^{2}\geq 0, \; \forall x,y\in \mathbb{R_{+}}[/latex]

Certo? Não é difícil notar que ela é válida porque satisfazemos o domínio da função raiz quadrada e elevamos o resultado da subtração ao quadrado. Agora, temos que:

[latex]\left ( \sqrt{x}-\sqrt{y} \right )^{2}\geq 0 \; \wedge \; \left ( x,y \right )\in \mathbb{R_{+}}^{2}\Leftrightarrow x-2\sqrt{xy}+y\geq 0 \; \wedge \; \left ( x,y \right )\in \mathbb{R_{+}}^{2} \Leftrightarrow \\\\ \Leftrightarrow \frac{x+y}{2}\geq \sqrt{xy} \; \wedge \; \left ( x,y \right )\in \mathbb{R_{+}}^{2}[/latex]

Como queríamos demonstrar. 

Ah, agora falando de lógica, existe um vídeo muito bom ao qual eu recomendo você ver se você quiser se atentar melhor às situações onde devemos usar implicações e equivalências e como estas últimas podem facilitar a nossa vida nos cálculos. A aula é sobre equações irracionais e seguirá em anexo; um abraço e bons estudos!