Autovalores e autovetores

Determine os autovalores e autovetores das seguintes transformações lineares, T: R² -> R²:?
a)T(x; y) = ( x +2y; -x + 4y)

b)T(x;y) = (2x + 2y); (x +3y)

Tem como alguém resolver bem explicado? thanks

T: operador linear

a)T(x; y) = ( x +2y; -x + 4y)

- determinação dos autovalores:

........|....1.......2 |
[T] = | - 1....4... |


λ *I...= | λ ..... 0 |
.....2.....| 0.......λ !

( [T] - λ I ) = | 1 - λ .....2 |
...................| - 1......4-λ |


det( [T] - λ *I ) = ( 1- λ )*( 4 - λ ) + 2 = λ ² - 5*λ + 2

λ ² - 5*λ + 2 = 0 -> raízes: λ = 3 ou λ = 2

- determinação dos autovetores:

são vetores v ∈ V, tais que ( [T] - λ *I ).(v) = 0

substituindo cada autovetor na equação matricial, obtem-se um sistema de equações lineares, resolvendo-se
o sistema os autovetores associados a cada um dos autovalores são obtidos.

para λ = 3

( [T] - 3*I v)*(v) = 0

( | 1........2 | - | 3.....0 |*| x | = | 0 |
..|- 1......4 |....| 0.....3 |..|y |.....|0 |

| - 2...... 2 |*|x|= |0|
|- 1........1 |..|y|..|0|

- 2x + 2y = 0
- x + y = 0

y = x

V = { ( x, x ), x ∈ R }


para λ = 2:

( | 1......2 | - | 2.....0 | )*|x| = 0
..| -1.....4 |...| 0.....2 |....|y|

- x + 2y = 0 -> y = x/2

V = { ( x, x/2 ), x ∈ R }

Por gentileza confira com gabarito.