maior valor possível para uma sala retangular

por **leozinho** Sáb 24 Nov 2012, 02:16

Seja um terreno em forma de triângulo ABC, com AC = 5m, BC = 20m e cos(alfa) = 3/5. O maior valor possível, em m2, para a área de uma sala retangular MNPQ, construído conforme mostra a figura a seguir, é:
[img] maior valor possível para uma sala retangular Triangulofuvest

maior valor possível para uma sala retangular Triangulofuvest

[/img]

a) 16 b) 18 c) 20 d) 22 e) 24

por Glauber Damasceno Sáb 24 Nov 2012, 09:04

Chamemos os lados do retângulo de x e y :

PQ = x e MQ = y

cos α = 3/5
sen² α = 1 - 9/5
senα = 4/5

sen α = PQ/QC = 4/5
sen α = x / QC =4/5

QC = 5x/4

O triângulo AQM e ABC são semelhantes , então apliquemos semelhança para achar a proporção entre os lados .

AQ = AC - QC = 5 - 5x/4 = (20-5x)/4

AQ/AC = MQ/BC

[(20-5x)/4]/5 = y/20

têm-se que y = 20 - 5x

A área do retângulo é dada por xy = x(20-5x) =
F(x) = 20x-5x²

A área máxima é o ponto máximo da função , ou seja , o Y do vértice.
Yv = -∆/4a
Yv = -400/-20 = 20

A área máxima é 20.

Espero ter ajudado . Um grande abraço e fique com Deus.

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