trigonometria

por Jhowcy Mariellen Pereira 19/11/2012, 5:26 pm

O valor da expressão P = [ sen (π/16)]⁴ + [sen (7π/16)]⁴ -√2/8 é:

resp: 3/4

por **Robson Jr.** 19/11/2012, 6:13 pm

Como pi/16 e 7pi/16 são complementares, podemos escrever P como:

$\small P=sen^4\left ( \frac{\pi}{16} \right )+cos^4\left ( \frac{\pi}{16} \right )-\frac{\sqrt{2}}{8} \text{ (Eq 1)}$

Agora, vamos usar uma relação conhecida para concluir algo sobre os termos elevados a 4.

$\small \left ( sen^2(\theta)+cos^2(\theta) \right )^2=1^2 \\\\ \Rightarrow \ sen^4(\theta)+cos^4(\theta)+2sen^2(\theta)cos^2(\theta)=1 \\\\ \Rightarrow \ sen^4(\theta)+cos^4(\theta)+2\left ( \frac{sen(2\theta)}{2} \right )^2=1 \\\\ \Rightarrow \ sen^4(\theta)+cos^4(\theta)=1-\frac{sen^2(2\theta)}{2}$

Usando que cos(4θ) = 1 - 2sen²(2θ), ou seja, sen²(2θ)= [1 - cos(4θ)]/2, temos:

$\small sen^4(\theta)+cos^4(\theta)=\frac{3+cos(4\theta)}{4} \text{ (Eq 2)}$

Usando Eq 2 em Eq 1, temos:

$\small P=\frac{3+cos\left ( \frac{4\pi}{16} \right )}{4}-\frac{\sqrt{2}}{8}=\frac{3+\frac{\sqrt{2}}{2}}{4}-\frac{\sqrt{2}}{8}={\color{Red} \frac{3}{4}}$

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