numeros complexos
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numeros complexos
por ary silva Seg 19 Nov 2012, 08:06
Determine todas as soluções da equação (z2 - 1)3 = 1
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ary silva- Jedi
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Re: numeros complexos
por Leonardo Sueiro Seg 19 Nov 2012, 09:02
Tirando a raiz terceira de ambos:
Z^2 - 1 = ∛1
∛1 = 1, - 1/2 + √3/2 ou -1/2 - √3/2
Z^2 - 1 = (raiz cúbica de 1)
Z^2 = (raiz cúbica de 1) + 1
Vamos fazer isso acima para todas as raízes
Logo:
Z^2 = 2 → Z = √2 ou Z = - √2
Z^2 = 1/2 + √3/2 → Z = √(1/2 + √3/2) ou Z = - √(1/2 + √3/2) (1)
Z^2 = 1/2 - √3/2 → Z = √(1/2 - √3/2) ou Z = - √(1/2 - √3/2) (2)
Transformando-os para a forma trigonométrica:
(1) Z = √(cos60 + isen60) ou Z = - √(cos60 + isen60)
(2) Z = √(cos300 + isen300) ou Z = - √(cos300 + isen300)
Usando Moivre:
(1) Z = + √(cis60º) ou Z = - √(cis60º)
(2) Z = + √(cis300º) ou Z = - √(cis300º)
Obteremos:
√3/2 + i/2 ; -√3/2 - i/2; - √3/2 + i/2 ; √3/2 - i/2
Z^2 - 1 = ∛1
∛1 = 1, - 1/2 + √3/2 ou -1/2 - √3/2
Z^2 - 1 = (raiz cúbica de 1)
Z^2 = (raiz cúbica de 1) + 1
Vamos fazer isso acima para todas as raízes
Logo:
Z^2 = 2 → Z = √2 ou Z = - √2
Z^2 = 1/2 + √3/2 → Z = √(1/2 + √3/2) ou Z = - √(1/2 + √3/2) (1)
Z^2 = 1/2 - √3/2 → Z = √(1/2 - √3/2) ou Z = - √(1/2 - √3/2) (2)
Transformando-os para a forma trigonométrica:
(1) Z = √(cos60 + isen60) ou Z = - √(cos60 + isen60)
(2) Z = √(cos300 + isen300) ou Z = - √(cos300 + isen300)
Usando Moivre:
(1) Z = + √(cis60º) ou Z = - √(cis60º)
(2) Z = + √(cis300º) ou Z = - √(cis300º)
Obteremos:
√3/2 + i/2 ; -√3/2 - i/2; - √3/2 + i/2 ; √3/2 - i/2
Leonardo Sueiro- Fera
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