Trigonometria + Polinomios

por Júlia Marinho Dom 18 Nov 2012, 10:11

Se sena e cosa, são raízes da equação 4x² + kx + 1 = 0, com a pertencente [0; pi/2[ e k real, então a soma dos possíveis valores de a é igual a:

A) 0
B) pi/2
C) pi
D) 3pi/2
E) 2pi

Nesse caso, eu tinha usado a soma das raízes da equação que seria x1+x2 = -b/a
Sena + cosa = -k/4, elevei as duas partes ao quadrado e travei aqui: 1 + 2sena = k²/16
O que posso fazer agora?

por danjr5 Dom 18 Nov 2012, 13:33

$\\ \begin{cases} sen \, a + cos \, a = - \frac{k}{4} \\ sen \, a \cdot cos \, a = \frac{1}{4} \end{cases} \\\\ (sen \, a + cos \, a)^2 = \frac{k^2}{16} \\\\ sen^2 \, a + 2 \cdot sen \, a \cdot cos \, a + cos^2 \, a = \frac{k^2}{16} \\\\ 1 + 2 \cdot sen \, a \cdot cos \, a = \frac{k^2}{16} \\\\ 1 + 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{k^2}{16} \\\\ 1 + \frac{1}{2} = \frac{k^2}{16} \\\\ 16 + 8 = k^2 \\ k^2 = 24 \\ k = \pm 2\sqrt{6}$

Consegue terminar?

por **Leonardo Sueiro** Dom 18 Nov 2012, 13:45

Vou demonstrar o modo pelo qual eu consegui resolver. Mas adianto que deve haver um modo mais fácil. Inclusive, se alguém quiser tentar resolver de um modo mais fácil, dou a dica de olhar para o final da minha resolução. Wink

Bom, podemos colocar senα e cosα na equação, obter equações paramétricas e, em seguida, isolar k:

4sen²α + ksenα + 1 = 0
4cos²α + kcosα + 1 = 0

Obteremos:
$\frac{-1 -4sen^2\alpha }{sen\alpha} = \frac{-1 -cos^2\alpha \beta }{cos\alpha}$

$-cos\alpha -4cos\alpha sen^2\alpha = -sen\alpha -4sen\alpha cos^2\alpha$

Colocando os termos com 4 de um lado e os outros de outro. Em seguida, colocando termos em evidência:

$\\4sen\alpha cos\alpha (cos\alpha - sen\alpha ) = cos\alpha - sen\alpha \rightarrow sen\alpha cos\alpha = \frac{1}{4} \rightarrow (sen\alpha cos\alpha)^2 = \frac{1}{16}\\sen^2\alpha cos^2\alpha = \frac{1}{16} \rightarrow sen^2\alpha(1 - sen^2\alpha) = \frac{1}{16} \\$

sen² α = a

a(1 - a)16 = 1
16a² - 16² + 1 = 0

$a = \frac{2 \pm \sqrt{3}}{4} = sen^2\alpha$

$sen\alpha = \sqrt{\frac{2 \pm \sqrt{3}}{4}}$

Dividindo o numerador e o denominador por 2:
$sen\alpha = \sqrt{\frac{1 \pm \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}$

Veja que essa solução nada mais é que o sen de um arco metade.

$sen(\frac{2\alpha}{2}) = \sqrt{\frac{1 \pm cos30º}{2}}\,\,\,\, \therefore \alpha = 15º \,\,ou\,\, \alpha = 75º$

$\therefore \frac{\pi }{2}$