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Número de Soluções Inteiras Não-Negativas de Uma Equação

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Mensagem por Robson Jr. 4/11/2012, 1:30 pm

O problema de se achar o número de soluções inteiras não-negativas de uma equação linear de coeficientes unitários faz parte da análise combinatória, mais precisamente do tópico Combinações Completas ou Combinações com Repetição. É um problema razoavelmente recorrente.

Aqui no forum, foi uma teoria que usei em alguns posts. Na maior parte deles, porém, vi que o autor estranhou a técnica, o que me motivou a escrever este tópico para "linkar" futuramente.

[mention][/mention] escreveu:
Seja uma equação da forma:



O número de soluções inteiras não negativas dessa igualdade é:


Demonstração:

Suponha o seguinte caso menor:



Imagine 5 unidades de um item (digamos bolinhas) dispostas em sequência:



Para que dividamos essa quantidade em três partes (variáveis), basta usarmos duas divisórias. Por exemplo:



Cada solução possível será um arranjo de 5 bolinhas e 2 barras, isto é, uma permutação de 7 itens com repetição de 5 e 2.



Para a equação genérica no início do post, temos k bolinhas e devemos dividí-las em n variáveis. Para isso, basta usar n - 1 barras. O número de soluções será igual ao de formas de se arranjar k + n - 1 elementos, com repetição k e n - 1.
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Mensagem por denisrocha 4/11/2012, 9:27 pm

Robson Jr. parabéns pelo tópico, muito bom!!!
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Mensagem por Glauber Damasceno 19/11/2012, 9:31 am

ótimo tópico
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