Produto de senos

por georgito Dom 21 Out 2012, 19:59

Olá gostaria de uma ajuda nesse exercício. Agradeço desde já:
Sabe-se que o produto sen1º . sen3º . sen5º . ... . sen89º = 1/2ª . Descubra o valor de a.
Não tenho o gabarito

por **Robson Jr.** Dom 21 Out 2012, 23:01

Seja "x" o valor da expressão pedida. Em notação de produtório, temos:

$\small x=\frac{\prod\limits_{t=1}^{90}sen(t)}{\prod\limits_{t=1}^{45}sen(2t)}= \frac{\prod\limits_{t=1}^{90}sen(t)}{\prod\limits_{t=1}^{45}[2.sen(t).cos(t)]}= \frac{\prod\limits_{t=1}^{90}sen(t)}{2^{45}\prod\limits_{t=1}^{45}sen(t)\prod\limits_{t=1}^{45}cos(t)}=\frac{\prod\limits_{t=46}^{90}sen(t)}{2^{45}\prod\limits_{t=1}^{90}cos(t)}$

Usando que cos(90º - x) = sen(x), vem:

$\small x=\frac{sen(46º)sen(47º)...sen(89º).sen(90º)}{2^{45}sen(89º)sen(88º)...sen(46º)sen(45º)}=\frac{sen(90º)}{2^{45}.sen(45º)}=\frac{1}{2^{45}.\frac{1}{\sqrt{2}}}$

Mas temos que:

$\small \frac{1}{\sqrt{2}}=2^{-\frac{1}{2}}$

Logo:

$\small x=\frac{1}{2^{45-\frac{1}{2}}}=\frac{1}{2^{\frac{89}{2}}} \Rightarrow a=\frac{89}{2}$

Brabinha, né?

por georgito Seg 22 Out 2012, 00:54

rapaz, muito braba hehe. obrigado Robson Jr

por Conteúdo patrocinado

Produto de senos

Produto de senos

Re: Produto de senos

Re: Produto de senos

Re: Produto de senos

Um fórum livre e democrático.