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Questão de Matrizes e Determinantes! Nível ITA/IME!

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Mensagem por Eliezer Neto Sáb 20 Out 2012, 01:31

|1 a a |
|a 1 a |
|a a 1 |
Seja a Matriz A (acima), onde a ∈ R. Considere que y1, y2 e y3 são as três raízes da equação det(A - yI) = 0, sendo que I é a matriz indentidade de ordem 3. Determine um valor de a que y12 + y22 + y32 = 27.
a) a= -1
b) a = 0
c) a = 1
d) a = 2
e) a = 3

Observação: os números em vermelho são os expoentes dos termos que os antecedem. Qualquer dúvida sobre o enunciado, a imagem deste está abaixo.

Resp.: d)

[img]Questão de Matrizes e Determinantes! Nível ITA/IME! Matrizita [/img]

Eliezer Neto
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Mensagem por Robson Jr. Sáb 20 Out 2012, 03:16

Representação:



O teorema de Jacobi permite substituir a primeira coluna pela soma de todas elas:



Usando a regra de Chió no determinante remanescente:



Portanto, as raízes da equação são:



Podemos fazer , resolver a equação do segundo grau e chegar à resposta. Eu preferiria testar as opções, já que todas são números pequenos e, portanto, o enunciado pode ser verificado mentalmente.

Qualquer que seja o procedimento escolhido, facilmente temos que a = 2 satisfaz o enunciado.

EDIT: Retifiquei a passagem final, onde a soma dos quadrados dos lambdas deve ser 27, e não 0. Obrigado ao amigo aprentice, que me alertou da incoerência. Smile


Última edição por Robson Jr. em Sáb 20 Out 2012, 15:04, editado 1 vez(es)
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Mensagem por Eliezer Neto Sáb 20 Out 2012, 03:26

Muitíssimo obrigado! Sério, estou muito feliz com sua ajuda, faz quase um mês que tento essa questão e não conseguia! Vlw, Robson Jr.!

Eliezer Neto
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Mensagem por Robson Jr. Sáb 20 Out 2012, 03:33

Este forum ajuda a gente a desempacar em várias questões.

Disponha. Smile
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