(IPHO)

por thiago ro Sáb 29 Set 2012, 19:32

Uma bola, lançada com uma velocidade inicial v0, se move em uma homogêneo
campo gravitacional no plano xz, em que o eixo x é
horizontal, e o eixo z é vertical e antiparalela ao
g aceleração de queda livre. Negligenciar o efeito da resistência do ar.
i. Ao ajustar o ângulo de lançamento para uma bola lançada
com uma velocidade inicial v0 fixo a partir da origem, os alvos podem ser
atingido dentro da região dada pela
z ≤ z0 - KX2.
Você pode usar esse fato sem provar. Encontre as constantes
z0 e k.

soluçao nesse site alguem me explique http://www.ipho2012.ee/wp-content/uploads/2012/07/ipho12t_solutions_ENG.pdf

por **Robson Jr.** Sáb 29 Set 2012, 23:39

Thiago, o link está quebrado. Confirma pra mim se a resposta é essa:

$z_0=\frac{v_0^2}{2g}; \ k=\frac{g}{2v_0^2}$

por thiago ro Dom 30 Set 2012, 09:55

desculpa a demora

a reposta é essa mesmo,por favor me desmostre seu raciocinio?

por **Robson Jr.** Dom 30 Set 2012, 16:31

Nem fala, cara... Não consigo tirar essa música da cabeça. Aquelas coreanas também não deixam nada a desejar. Very Happy

O enunciado do problema faz referência à região delimitada pela Parábola de Segurança, por isso foi simples presumir as respostas pedidas. Não sei se você conhece essa matéria, então partirei do zero na minha solução. Alternativamente, traduzirei a resposta do link que você passou.

Esquema:

Tradução:

Quando a pedra é atirada verticalmente para cima, ela pode atingir o ponto $\small x=0, \ z=v_0^2/2g$ (como segue da lei de conservação da energia). Comparando com a inequação $\small z \leq z_0-kx^2$ , concluímos que:

$\small z_0=v_0^2/2g$

Consideremos os assintóticos $\small z \rightarrow -\infty$ ; a trajetória da pedra é uma parábola, e em seu limite, o deslocamento horizontal (para o z dado) é muito sensível no que diz respeito à curvatura da parábola: quando mais achatada a parábola, maior é o deslocamento. A parábola assume sua forma mais achatada quando a pedra é atirada horizontalmente; $\small x=v_0t$ e $\small z=-gt^2/2$ , isto é, sua trajetória é dada por $\small z=-gx^2/2v_0^2$ . Agora, lembremos que $\small z \leq z_0-kx^2$ , isto é, $\small -gx^2/2v_o^2 \leq z_0-kx^2 \Rightarrow k\leq g/2v_0^2$ . Note que $\small k< g/2v_0^2$ implicará na existência de uma brecha entre a região parabólica $\small z \leq z_0-kx^2$ e a trajetória dada $\small z=-gx^2/2v_0^2$ . Esta trajetória deve ser otimizada para acertar alvos muito embaixo $\small (z \rightarrow -\infty)$ , então não deve haver tal brecha, e portanto, podemos excluir a opção $\small k < g/2v_0^2$ . Isso nos deixa com:

$\small k=g/2v_0^2$

Minha solução:

Comecemos deduzindo uma expressão para a trajetória de um móvel em lançamento oblíquo, partindo da origem.

Suponha que o projétil em questão seja lançado com velocidade $\small v_0$ , formando um ângulo $\small \theta$ com a horizontal.

No eixo z, o movimento é retilíneo uniformemente variado de aceleração g.

$\small z=v_0.sen(\theta)-\frac{gt^2}{2} \text{ (Eq 1)}$

No eixo x, o movimento é retilíneo uniforme.

$\small x=v_0.cos(\theta).t \Rightarrow t=\frac{x}{v_0.cos(\theta)} \text{ (Eq 2)}$

Substituindo Eq 2 em Eq 1, com um pouco de algebrismo:

$\small {\color{Red} z=tg(\theta).x-\frac{g}{2v_0^2cos^2(\theta)}x^2}$

Essa é a equação da trajetória de um lançamento, mais comumente vista com "y" no lugar de "z". Sugiro que você a guarde com carinho, porque ela já me ajudou bastante este ano.

Da trigonometria, sabemos que 1/cos²(θ) = tg²(θ) + 1. Substituindo na equação da trajetória:

$\small tg^2(\theta)-\left ( \frac{2v_0^2}{gx} \right )tg(\theta)+\frac{2v_0^2z}{gx^2}+1=0$

Olhando essa expressão como uma equação em tg(θ), ao inserir certos valores de x e z (as coordenadas do alvo) e resolver a equação obteremos os ângulos (se existirem) para os quais tal alvo será atingido. Assim, a região do plano que contém todos os alvos capazes de serem acertados será tal que a equação possua solução, isto é, ∆ ≥ 0.

$\small \left ( \frac{2v_0^2}{gx} \right )^2-4\left ( \frac{2v_0^2z}{gx^2}+1 \right ) \geq 0 \\\\ \Rightarrow \ \frac{4v_0^4}{g^2x^2}-\frac{8v_0^2z}{gx^2}-4 \geq 0 \\\\ \Rightarrow \ 4v_0^4-8v_0^2zg-4g^2x^2 \geq 0 \\\\ \Rightarrow \ z \leq \underset{z_0}{\underbrace{\frac{v_0^2}{2g}}}-\underset{k}{\underbrace{\frac{g}{2v_0^2}}}x^2 \\\\$

Logo:

$\small z_0=\frac{v_0^2}{2g}; \ k=\frac{g}{2v_0^2}$

Eu sinceramente achei a resposta da banca da IPHO meio complicadinha. Espero que a minha tenha te soado mais simples.