A área do retângulo. O que vocês acham?
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A área do retângulo. O que vocês acham?
Ai, eu desisto dessa vida de Geometria Plana, sério mesmo! Nada do que eu tento dá certo!
Ah! Desculpem-me! Primeiramente, boa tarde, ne, gente? >///<
Espero que todos estejam bem, e que não tenha derretido ainda, porque eu aqui em Goiás estou quase!
Então... Esta é mais uma daquelas questões que me iludem: ela me fez pensar que eu sabia o que estava fazendo, mas no final deu tudo errado. *suspiro*
Vejam só:
31. (Mackenzie 98) Na figura a seguir, A, B e C são centros de
circunferências iguais. Se a área do trapézio assinalado é 3, então a área do
retângulo vale:
a) 4 + 4√3
b) 8 + 4√3
c) 8 + 8√3
d) 4 + 8√3
e) 8 + √3
O gabarito diz que a resposta é letra "b".
Eu tentei fazer de duas formas diferentes. A primeira, eu dei bobeira mesmo, e já percebi isso, então nem vou escrever aqui, para não pagar muito mico. A segunda, provavelmente está toda errada também, mas eu não consegui achar o erro (espero que não seja muito evidente). Eu pensei assim...
1) Ligando os três pontos, têm-se um triângulo equilátero.
2) E como as três circunferências são iguais, é possível usá-las para formar outros três trapézios iguais a esse.
Aí rabisquei a figura, para ficar desse jeito:
(Os três trapézios em azul e o triângulo equilátero em vermelho!)
Bom, como aquele ângulo vale 60° (por se tratar de um triângulo equilátero), os outros ângulos (desses dois triângulos formados, que, aliás, são semelhantes) valerão 180º - 60º/2, ou seja, também valerão 60°. Assim sendo, o outro ângulo dos triângulos vale 30º!
Aí, como esse triângulo formado é retângulo, eu pensei... sen30° = r/d
Daí, 1/2 = r/d, logo o raio vale 1 e o diâmetro, 2 (o que, aliás, faz todo o sentido).
Isso concorda com a área do trapézio dada, porque a base maior valeria 4, a base menor, 2, e a altura, 1. Assim sendo, ficaria certinho com a área:
(B + b)h/2 = 3 ~~> (4+2)1/2 = 3 ~~> 6/2 = 3 ~~> 3 = 3
Só que aí vem o problema! No meu entender, esse "retângulo" é um quadrado. Afinal, todo quadrado é retângulo, então tudo bem. Só que. Como a base maior do paralelogramop valeria 4, os lados do quadrado também valeriam 4. E aí, nesse caso, sua área seria 4 x 4 = 16! Mas isso não tem naaaaada a ver com a alternativa "b" (e, aliás, nem como nenhuma das outras)!
E aí? O que vocês acham? Eu estou totalmente errada, ou essa questão está errada?
Por favor, me ajudem a entender!
Ah! Desculpem-me! Primeiramente, boa tarde, ne, gente? >///<
Espero que todos estejam bem, e que não tenha derretido ainda, porque eu aqui em Goiás estou quase!
Então... Esta é mais uma daquelas questões que me iludem: ela me fez pensar que eu sabia o que estava fazendo, mas no final deu tudo errado. *suspiro*
Vejam só:
31. (Mackenzie 98) Na figura a seguir, A, B e C são centros de
circunferências iguais. Se a área do trapézio assinalado é 3, então a área do
retângulo vale:
a) 4 + 4√3
b) 8 + 4√3
c) 8 + 8√3
d) 4 + 8√3
e) 8 + √3
O gabarito diz que a resposta é letra "b".
Eu tentei fazer de duas formas diferentes. A primeira, eu dei bobeira mesmo, e já percebi isso, então nem vou escrever aqui, para não pagar muito mico. A segunda, provavelmente está toda errada também, mas eu não consegui achar o erro (espero que não seja muito evidente). Eu pensei assim...
1) Ligando os três pontos, têm-se um triângulo equilátero.
2) E como as três circunferências são iguais, é possível usá-las para formar outros três trapézios iguais a esse.
Aí rabisquei a figura, para ficar desse jeito:
(Os três trapézios em azul e o triângulo equilátero em vermelho!)
Bom, como aquele ângulo vale 60° (por se tratar de um triângulo equilátero), os outros ângulos (desses dois triângulos formados, que, aliás, são semelhantes) valerão 180º - 60º/2, ou seja, também valerão 60°. Assim sendo, o outro ângulo dos triângulos vale 30º!
Aí, como esse triângulo formado é retângulo, eu pensei... sen30° = r/d
Daí, 1/2 = r/d, logo o raio vale 1 e o diâmetro, 2 (o que, aliás, faz todo o sentido).
Isso concorda com a área do trapézio dada, porque a base maior valeria 4, a base menor, 2, e a altura, 1. Assim sendo, ficaria certinho com a área:
(B + b)h/2 = 3 ~~> (4+2)1/2 = 3 ~~> 6/2 = 3 ~~> 3 = 3
Só que aí vem o problema! No meu entender, esse "retângulo" é um quadrado. Afinal, todo quadrado é retângulo, então tudo bem. Só que. Como a base maior do paralelogramop valeria 4, os lados do quadrado também valeriam 4. E aí, nesse caso, sua área seria 4 x 4 = 16! Mas isso não tem naaaaada a ver com a alternativa "b" (e, aliás, nem como nenhuma das outras)!
E aí? O que vocês acham? Eu estou totalmente errada, ou essa questão está errada?
Por favor, me ajudem a entender!
AndressaA- Iniciante
- Mensagens : 29
Data de inscrição : 08/09/2012
Idade : 28
Localização : Anápolis, Goiás, Brasil
Re: A área do retângulo. O que vocês acham?
Olá Andressa, tudo bem? Veja se você pensou nisto:
A = 3 --> (4R + 2R)R/2 = 3 --> 6R² = 6 --> R = 1 --> Base do retângulo é 4R , logo é 4.
Vamos calcular sua altura:
Usarei o triângulo que você assinalou:
Considere a altura representada por 2R + x (x é o segmento que parte do centro C até o ponto de tangência em A)
Pelo triângulo:
x/2R = V3/2 --> x = V3 --> h = 2 + V3
A área é base x altura, logo:
4( 2 + V3) = 8 + 4V3
Abraços!
A = 3 --> (4R + 2R)R/2 = 3 --> 6R² = 6 --> R = 1 --> Base do retângulo é 4R , logo é 4.
Vamos calcular sua altura:
Usarei o triângulo que você assinalou:
Considere a altura representada por 2R + x (x é o segmento que parte do centro C até o ponto de tangência em A)
Pelo triângulo:
x/2R = V3/2 --> x = V3 --> h = 2 + V3
A área é base x altura, logo:
4( 2 + V3) = 8 + 4V3
Abraços!
JoaoGabriel- Monitor
- Mensagens : 2344
Data de inscrição : 30/09/2010
Idade : 28
Localização : Rio de Janeiro
Re: A área do retângulo. O que vocês acham?
P.S.: Não desista!!! É tudo uma questão de prática, com o tempo você melhora muito! Fica tranquila
JoaoGabriel- Monitor
- Mensagens : 2344
Data de inscrição : 30/09/2010
Idade : 28
Localização : Rio de Janeiro
Re: A área do retângulo. O que vocês acham?
Hnm... Então não se trata de um quadrado. Certo...
Só uma coisa, qual dos triângulos você usou nessa relação? E essa altura que você chamou de 2R + x é a altura do triângulo, ou a do retângulo? E, afinal, o que é o "x", no caso?
Seu raciocínio faz todo o sentido, só não consegui visualizar esse triângulo. ^^'
Aaah! Quase me esqueço! A propósito, obrigada!
Só uma coisa, qual dos triângulos você usou nessa relação? E essa altura que você chamou de 2R + x é a altura do triângulo, ou a do retângulo? E, afinal, o que é o "x", no caso?
Seu raciocínio faz todo o sentido, só não consegui visualizar esse triângulo. ^^'
Aaah! Quase me esqueço! A propósito, obrigada!
AndressaA- Iniciante
- Mensagens : 29
Data de inscrição : 08/09/2012
Idade : 28
Localização : Anápolis, Goiás, Brasil
Re: A área do retângulo. O que vocês acham?
Aqui em BH também está torrando!
Não li com muita atenção seu texto, mas creio que seu erro seja de admitir que a figura é um quadrado, sendo que não é (a base tem 4 raios e a altura tem menos)
Vamos ao exercício:
Área do trapézio é 3,
(B + b)h/2 = 3
B.h + b.h = 6
pelo exercício percebe-se
B = 4R
h = R
b = 2R
(sendo R o raio)
4R.R + 2R.R = 6
6R² = 6
R² = 1
R = 1
Pelo triangulo retângulo da sua imagem:
tg30 = R/x
V3/3 = R/x
3/V3 = x
x = V3
A área do rentãngulo é:
4R.(V3 + 2R) = 4RV3 + 8R² = 4.1.V3 + 8.1 = 4V3 + 8
Você tem a manha, mas complica demais os exercícios!!
Não li com muita atenção seu texto, mas creio que seu erro seja de admitir que a figura é um quadrado, sendo que não é (a base tem 4 raios e a altura tem menos)
Vamos ao exercício:
Área do trapézio é 3,
(B + b)h/2 = 3
B.h + b.h = 6
pelo exercício percebe-se
B = 4R
h = R
b = 2R
(sendo R o raio)
4R.R + 2R.R = 6
6R² = 6
R² = 1
R = 1
Pelo triangulo retângulo da sua imagem:
tg30 = R/x
V3/3 = R/x
3/V3 = x
x = V3
A área do rentãngulo é:
4R.(V3 + 2R) = 4RV3 + 8R² = 4.1.V3 + 8.1 = 4V3 + 8
Você tem a manha, mas complica demais os exercícios!!
ramonss- Fera
- Mensagens : 1028
Data de inscrição : 26/07/2012
Idade : 27
Localização : BH - MG
Re: A área do retângulo. O que vocês acham?
Ah, isso explica de qual triângulo e de qual "x" o JoaoGabriel estava falando! Agora consegui entender tudinho! Obrigada, ramonss!
Nyaaa... Não sou eu que os complico, eles que me complicam. u3ù'
Rsrsrs
Vai ver é porque eu sempre fico esperando que tudo seja extremamente difícil, então eu também penso o mais difícil possível. =B
Nyaaa... Não sou eu que os complico, eles que me complicam. u3ù'
Rsrsrs
Vai ver é porque eu sempre fico esperando que tudo seja extremamente difícil, então eu também penso o mais difícil possível. =B
AndressaA- Iniciante
- Mensagens : 29
Data de inscrição : 08/09/2012
Idade : 28
Localização : Anápolis, Goiás, Brasil
Re: A área do retângulo. O que vocês acham?
Chamando de a o raio dos círculos , temos :
Àrea do trapézio > S={(2a+4a)/2}h >>a=1
O triângulo equilátero tem lado 2a ou 2.1 =2 , a altura do triângulo equilátero de lado 2 é; h= LV3/2
h=2V3/2=V3 >> altura do retângulo H= V3 + 1 + 1 = 2V3
Àrea do retângulo= B.H/2 4.(V3 + 2) = 8 + V3
Àrea do trapézio > S={(2a+4a)/2}h >>a=1
O triângulo equilátero tem lado 2a ou 2.1 =2 , a altura do triângulo equilátero de lado 2 é; h= LV3/2
h=2V3/2=V3 >> altura do retângulo H= V3 + 1 + 1 = 2V3
Àrea do retângulo= B.H/2 4.(V3 + 2) = 8 + V3
raimundo pereira- Grupo
Velhos amigos do Fórum - Mensagens : 6113
Data de inscrição : 13/06/2012
Idade : 82
Localização : Rio de Janeiro
Re: A área do retângulo. O que vocês acham?
Sim, agora eu consegui ver isso, Raimundo. Até que eu cheguei perto! Obrigada!
AndressaA- Iniciante
- Mensagens : 29
Data de inscrição : 08/09/2012
Idade : 28
Localização : Anápolis, Goiás, Brasil
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