PiR2
Gostaria de reagir a esta mensagem? Crie uma conta em poucos cliques ou inicie sessão para continuar.

A área do retângulo. O que vocês acham?

4 participantes

Ir para baixo

A área do retângulo. O que vocês acham? Empty A área do retângulo. O que vocês acham?

Mensagem por AndressaA Qui 13 Set 2012, 15:29

Ai, eu desisto dessa vida de Geometria Plana, sério mesmo! Nada do que eu tento dá certo! 🇳🇴

Ah! Desculpem-me! Primeiramente, boa tarde, ne, gente? >///<
Espero que todos estejam bem, e que não tenha derretido ainda, porque eu aqui em Goiás estou quase!

Então... Esta é mais uma daquelas questões que me iludem: ela me fez pensar que eu sabia o que estava fazendo, mas no final deu tudo errado. *suspiro*

Vejam só:

31. (Mackenzie 98) Na figura a seguir, A, B e C são centros de
circunferências iguais. Se a área do trapézio assinalado é 3, então a área do
retângulo vale:

A área do retângulo. O que vocês acham? E3294


a) 4 + 4√3


b) 8 + 4√3


c) 8 + 8√3


d) 4 + 8√3


e) 8 + √3

O gabarito diz que a resposta é letra "b".

Eu tentei fazer de duas formas diferentes. A primeira, eu dei bobeira mesmo, e já percebi isso, então nem vou escrever aqui, para não pagar muito mico. A segunda, provavelmente está toda errada também, mas eu não consegui achar o erro (espero que não seja muito evidente). Eu pensei assim...

1) Ligando os três pontos, têm-se um triângulo equilátero.
2) E como as três circunferências são iguais, é possível usá-las para formar outros três trapézios iguais a esse.

Aí rabisquei a figura, para ficar desse jeito:

A área do retângulo. O que vocês acham? Ex1

(Os três trapézios em azul e o triângulo equilátero em vermelho!)

Bom, como aquele ângulo vale 60° (por se tratar de um triângulo equilátero), os outros ângulos (desses dois triângulos formados, que, aliás, são semelhantes) valerão 180º - 60º/2, ou seja, também valerão 60°. Assim sendo, o outro ângulo dos triângulos vale 30º!

A área do retângulo. O que vocês acham? Ex2
Aí, como esse triângulo formado é retângulo, eu pensei... sen30° = r/d

Daí, 1/2 = r/d, logo o raio vale 1 e o diâmetro, 2 (o que, aliás, faz todo o sentido).

Isso concorda com a área do trapézio dada, porque a base maior valeria 4, a base menor, 2, e a altura, 1. Assim sendo, ficaria certinho com a área:

(B + b)h/2 = 3 ~~> (4+2)1/2 = 3 ~~> 6/2 = 3 ~~> 3 = 3

Só que aí vem o problema! No meu entender, esse "retângulo" é um quadrado. Afinal, todo quadrado é retângulo, então tudo bem. Só que. Como a base maior do paralelogramop valeria 4, os lados do quadrado também valeriam 4. E aí, nesse caso, sua área seria 4 x 4 = 16! Mas isso não tem naaaaada a ver com a alternativa "b" (e, aliás, nem como nenhuma das outras)!

E aí? O que vocês acham? Eu estou totalmente errada, ou essa questão está errada?

Por favor, me ajudem a entender! 🇳🇴

AndressaA
Iniciante

Mensagens : 29
Data de inscrição : 08/09/2012
Idade : 28
Localização : Anápolis, Goiás, Brasil

Ir para o topo Ir para baixo

A área do retângulo. O que vocês acham? Empty Re: A área do retângulo. O que vocês acham?

Mensagem por JoaoGabriel Qui 13 Set 2012, 15:34

Olá Andressa, tudo bem? Veja se você pensou nisto:

A = 3 --> (4R + 2R)R/2 = 3 --> 6R² = 6 --> R = 1 --> Base do retângulo é 4R , logo é 4.

Vamos calcular sua altura:

Usarei o triângulo que você assinalou:

Considere a altura representada por 2R + x (x é o segmento que parte do centro C até o ponto de tangência em A)

Pelo triângulo:

x/2R = V3/2 --> x = V3 --> h = 2 + V3

A área é base x altura, logo:

4( 2 + V3) = 8 + 4V3

Abraços!
JoaoGabriel
JoaoGabriel
Monitor
Monitor

Mensagens : 2344
Data de inscrição : 30/09/2010
Idade : 28
Localização : Rio de Janeiro

Ir para o topo Ir para baixo

A área do retângulo. O que vocês acham? Empty Re: A área do retângulo. O que vocês acham?

Mensagem por JoaoGabriel Qui 13 Set 2012, 15:38

P.S.: Não desista!!! É tudo uma questão de prática, com o tempo você melhora muito! Fica tranquila Very Happy
JoaoGabriel
JoaoGabriel
Monitor
Monitor

Mensagens : 2344
Data de inscrição : 30/09/2010
Idade : 28
Localização : Rio de Janeiro

Ir para o topo Ir para baixo

A área do retângulo. O que vocês acham? Empty Re: A área do retângulo. O que vocês acham?

Mensagem por AndressaA Qui 13 Set 2012, 15:40

Hnm... Então não se trata de um quadrado. Certo...
Só uma coisa, qual dos triângulos você usou nessa relação? E essa altura que você chamou de 2R + x é a altura do triângulo, ou a do retângulo? E, afinal, o que é o "x", no caso? silent
Seu raciocínio faz todo o sentido, só não consegui visualizar esse triângulo. ^^'

Aaah! Quase me esqueço! A propósito, obrigada! Very Happy

AndressaA
Iniciante

Mensagens : 29
Data de inscrição : 08/09/2012
Idade : 28
Localização : Anápolis, Goiás, Brasil

Ir para o topo Ir para baixo

A área do retângulo. O que vocês acham? Empty Re: A área do retângulo. O que vocês acham?

Mensagem por ramonss Qui 13 Set 2012, 15:48

Aqui em BH também está torrando!
Não li com muita atenção seu texto, mas creio que seu erro seja de admitir que a figura é um quadrado, sendo que não é (a base tem 4 raios e a altura tem menos)

Vamos ao exercício:
Área do trapézio é 3,

(B + b)h/2 = 3
B.h + b.h = 6

pelo exercício percebe-se
B = 4R
h = R
b = 2R
(sendo R o raio)
4R.R + 2R.R = 6
6R² = 6
R² = 1
R = 1



Pelo triangulo retângulo da sua imagem:
tg30 = R/x
V3/3 = R/x
3/V3 = x
x = V3

A área do rentãngulo é:

4R.(V3 + 2R) = 4RV3 + 8R² = 4.1.V3 + 8.1 = 4V3 + 8


Você tem a manha, mas complica demais os exercícios!!
ramonss
ramonss
Fera
Fera

Mensagens : 1028
Data de inscrição : 26/07/2012
Idade : 27
Localização : BH - MG

Ir para o topo Ir para baixo

A área do retângulo. O que vocês acham? Empty Re: A área do retângulo. O que vocês acham?

Mensagem por AndressaA Qui 13 Set 2012, 15:53

Ah, isso explica de qual triângulo e de qual "x" o JoaoGabriel estava falando! Agora consegui entender tudinho! Obrigada, ramonss! Smile

Nyaaa... Não sou eu que os complico, eles que me complicam. u3ù'
Rsrsrs

Vai ver é porque eu sempre fico esperando que tudo seja extremamente difícil, então eu também penso o mais difícil possível. =B

AndressaA
Iniciante

Mensagens : 29
Data de inscrição : 08/09/2012
Idade : 28
Localização : Anápolis, Goiás, Brasil

Ir para o topo Ir para baixo

A área do retângulo. O que vocês acham? Empty Re: A área do retângulo. O que vocês acham?

Mensagem por raimundo pereira Qui 13 Set 2012, 16:03

Chamando de a o raio dos círculos , temos :
Àrea do trapézio > S={(2a+4a)/2}h >>a=1
O triângulo equilátero tem lado 2a ou 2.1 =2 , a altura do triângulo equilátero de lado 2 é; h= LV3/2
h=2V3/2=V3 >> altura do retângulo H= V3 + 1 + 1 = 2V3
Àrea do retângulo= B.H/2 4.(V3 + 2) = 8 + V3
raimundo pereira
raimundo pereira
Grupo
Velhos amigos do Fórum

Grupo Velhos amigos do Fórum

Mensagens : 6113
Data de inscrição : 13/06/2012
Idade : 82
Localização : Rio de Janeiro

Ir para o topo Ir para baixo

A área do retângulo. O que vocês acham? Empty Re: A área do retângulo. O que vocês acham?

Mensagem por AndressaA Qui 13 Set 2012, 16:07

Sim, agora eu consegui ver isso, Raimundo. Até que eu cheguei perto! Obrigada!

AndressaA
Iniciante

Mensagens : 29
Data de inscrição : 08/09/2012
Idade : 28
Localização : Anápolis, Goiás, Brasil

Ir para o topo Ir para baixo

A área do retângulo. O que vocês acham? Empty Re: A área do retângulo. O que vocês acham?

Mensagem por Conteúdo patrocinado


Conteúdo patrocinado


Ir para o topo Ir para baixo

Ir para o topo

- Tópicos semelhantes

 
Permissões neste sub-fórum
Não podes responder a tópicos