Questão relação entre curva e reta

por williamrota Seg 27 Ago 2012, 20:17

A curva x² + y² - 2x - 2y + 1 = 0 tem um único ponto comum com a reta x + y = k, k E R. A soma dos possíveis valores de k é:

por DeadLine_Master Seg 27 Ago 2012, 20:32

A curva em questão é um círculo de raio 1 e centro (1, 1) cuja equação pode ser representada por:

(x - 1)² + (y - 1)² = 1

Se a reta r: x + y - k = 0 possui somente um ponto em comum com a circunferência então esta é tangente a ela. Portanto a distância da reta até o centro da circunferência será igual ao próprio raio. Ou seja:

|1 + 1 - k|/√2 = 1 => |2 - k| = √2 =>
k' = 2 - √2
k'' = √2 + 2

Soma S das possíveis raízes:
S = 2 - √2 + √2 + 2 = 4

por Ceruko Qua 25 Nov 2020, 11:09

o que seria o k ?

por **Elcioschin** Qua 25 Nov 2020, 12:39

O valor k é o coeficiente linear da reta y = - x + k ---> É o ponto de encontro da reta com o eixo y
É um valor a ser determinado na questão.

Ouro modo de resolver:

x² + y² - 2.x - 2.y + 1 = 0

x² + (- x + k)² - 2.x - 2.(- x + k) + 1 = 0

x² + (x² - 2.k.x + k²) - 2.x + 2.x - 2.k + 1 = 0

2.x² - 2.k.x + (k² - 2.k + 1) = 0

Para a reta ser tangente ao círculo, o discriminante deve ser nulo: ∆ = 0

∆ = b² - 4.a.c --> ∆ = (-2.k)² - 4.2.(k² - 2.k + 1) ---> k² - 4.k + 2 = 0

Raízes: k' = 2 - √2 ---> k" = 2 + √2 ---> k' + k" = 4