seis cores diferentes
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Bruna Barreto
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seis cores diferentes
Dispomos de seis cores diferentes.
Cada face de um cubo será pintada com uma cor diferente, de forma que as seis cores sejam utilizadas. De quantas maneiras isto pode ser feito, se uma maneira é considerada idêntica à outra, desde que possa ser obtida a partir desta por rotação do cubo?
a)36
b)18
c)30
d)12
e)24
Cada face de um cubo será pintada com uma cor diferente, de forma que as seis cores sejam utilizadas. De quantas maneiras isto pode ser feito, se uma maneira é considerada idêntica à outra, desde que possa ser obtida a partir desta por rotação do cubo?
a)36
b)18
c)30
d)12
e)24
- Spoiler:
- a
Bruna Barreto- Fera
- Mensagens : 1621
Data de inscrição : 30/03/2011
Idade : 29
Localização : Rio de janeiro
Re: seis cores diferentes
Olá Bruna:
Não concordo com o spoiler. Penso que a resposta certa é 30.
Imaginemos que as cores são:azul (A), vermelho (V), amarelo (a), branco (B), verde (v) e preto (P).
Podemos pintar uma face (qualquer) por exemplo com a cor azul. Isto pode-se fazer, porque as várias possibilidades dependem apenas das posições relativas das outras 5 faces pintadas com as outras 5 cores. Então para a face do cubo que se opõe à face pintada de azul temos 5 hipóteses (as restantes 5 cores). E quanto às outras 4 faces que falta pintar?
Para exemplificarmos, suponhamos que as 2 faces (opostas) pintadas até ao momento têm as cores azul(A) e vermelha(V).
-?
V?A
-?
-?
Falta pintar as faces com ponto de interrogação (?). Ora dispomos ainda de 4 cores, mas essas 4 faces fecham-se (formam um ciclo), pelo que podemos aplicar as permutações circulares (de forma idêntica à de 4 pessoas numa mesa redonda). Então o número de possibilidades é 3!=6.
Logo, o total de casos diferentes será 5*6=30.
Não concordo com o spoiler. Penso que a resposta certa é 30.
Imaginemos que as cores são:azul (A), vermelho (V), amarelo (a), branco (B), verde (v) e preto (P).
Podemos pintar uma face (qualquer) por exemplo com a cor azul. Isto pode-se fazer, porque as várias possibilidades dependem apenas das posições relativas das outras 5 faces pintadas com as outras 5 cores. Então para a face do cubo que se opõe à face pintada de azul temos 5 hipóteses (as restantes 5 cores). E quanto às outras 4 faces que falta pintar?
Para exemplificarmos, suponhamos que as 2 faces (opostas) pintadas até ao momento têm as cores azul(A) e vermelha(V).
-?
V?A
-?
-?
Falta pintar as faces com ponto de interrogação (?). Ora dispomos ainda de 4 cores, mas essas 4 faces fecham-se (formam um ciclo), pelo que podemos aplicar as permutações circulares (de forma idêntica à de 4 pessoas numa mesa redonda). Então o número de possibilidades é 3!=6.
Logo, o total de casos diferentes será 5*6=30.
parofi- Grupo
Velhos amigos do Fórum - Mensagens : 495
Data de inscrição : 28/01/2012
Idade : 63
Localização : Vila Real-PORTUGAL
Re: seis cores diferentes
Olá, meu nome é Romulo e gostaria de ajuda nessa questão. Estou resolvendo o livro fundamentos de matemática elementar volume 5 e, ao chegar nessa questão, travei. Sinceramente não compreendi a explicação do amigo acima.
Eu tentei fazer de um outro jeito e, aparentemente, deu certo mas não sei se foi coincidência ou se está, de fato, correto.
Alguém poderia me dizer se está correto o que eu fiz?
Eu fiz uma combinação de 6,4 já que tem 6 cores para 4 posições, o que me resulta em 15. Depois, para a outra maneira de rotacionar, fiz a mesma coisa. Então, 15+15=30.
Obrigado.
Eu tentei fazer de um outro jeito e, aparentemente, deu certo mas não sei se foi coincidência ou se está, de fato, correto.
Alguém poderia me dizer se está correto o que eu fiz?
Eu fiz uma combinação de 6,4 já que tem 6 cores para 4 posições, o que me resulta em 15. Depois, para a outra maneira de rotacionar, fiz a mesma coisa. Então, 15+15=30.
Obrigado.
vzz- Jedi
- Mensagens : 336
Data de inscrição : 16/02/2013
Localização : Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, Brasil
Re: seis cores diferentes
Com base na resolução do parofi, pensei na seguinte solução: no cubo planificado, nos quadrados onde estão as cores vermelho e azul, poderíamos fazer a seguinte combinação : vermelho e azul, vermelho e branco, vermelho e amarelo etc... => Total: C 6,2 == 15. Ao escolhermos essas duas cores, as 4 restantes estarão determinadas. Logo, devemos permutá-las: 3!
resultado: 15 x 3! = 90. Por que meu pensamento está errado?????
resultado: 15 x 3! = 90. Por que meu pensamento está errado?????
nandofab- Jedi
- Mensagens : 410
Data de inscrição : 25/07/2012
Idade : 28
Localização : Rio de Janeiro, RJ, Brasil
Re: seis cores diferentes
Olá nando.
O erro está em que com o seu raciocínio vai haver repetição (3 vezes) da mesma configuração (dado que com as rotações vai dar a mesma coisa). Exemplo:
Seja B-branco; a-amarelo;P-preto;v-verde;A-azul e V-vermelho.
Se escolher para os quadrados onde estão V (vermelho) e A (azul), uma hipótese era a da minha primeira figura:
a
VBA
P
v
Mas se escolher P e a para aqueles dois lugares, obtém-se a mesma configuração para:
V
PBa
A
v.
E se escolher para aqueles dois lugares v e B, obtém-se o mesmo para:
V
vPB
A
a.
Assim triplica a mesma configuração. Daí ter obtido 3*30=90.
Um abraço.
O erro está em que com o seu raciocínio vai haver repetição (3 vezes) da mesma configuração (dado que com as rotações vai dar a mesma coisa). Exemplo:
Seja B-branco; a-amarelo;P-preto;v-verde;A-azul e V-vermelho.
Se escolher para os quadrados onde estão V (vermelho) e A (azul), uma hipótese era a da minha primeira figura:
a
VBA
P
v
Mas se escolher P e a para aqueles dois lugares, obtém-se a mesma configuração para:
V
PBa
A
v.
E se escolher para aqueles dois lugares v e B, obtém-se o mesmo para:
V
vPB
A
a.
Assim triplica a mesma configuração. Daí ter obtido 3*30=90.
Um abraço.
parofi- Grupo
Velhos amigos do Fórum - Mensagens : 495
Data de inscrição : 28/01/2012
Idade : 63
Localização : Vila Real-PORTUGAL
Re: seis cores diferentes
Pensei da seguinte maneira:
Um cubo no espaço. Então por mais que rotacionemos ele as cores de cima e baixo serão as mesmas. Logo são 6 possibilidades para parte de cima e 5 para a de baixo. Para as laterais apliquei uma permutação circular PC4=6. Logo o número de modos é 6*5*6=180.
Não entendo qual foi meu erro. Agradeço qualquer ajuda.
Um cubo no espaço. Então por mais que rotacionemos ele as cores de cima e baixo serão as mesmas. Logo são 6 possibilidades para parte de cima e 5 para a de baixo. Para as laterais apliquei uma permutação circular PC4=6. Logo o número de modos é 6*5*6=180.
Não entendo qual foi meu erro. Agradeço qualquer ajuda.
____________________________________________
Baixe o livro Análise Combinatória e Probabilidade do A.C. Morgado com o gabarito e o solucionário dos exercícios.
Link 1: https://drive.google.com/open?id=0B4rrFzh6MB34NlVpeEpMZEdYSWs
Link 2: https://mega.nz/#F!FcpEWTCC!XrlsFKcPNR3ePOFm3OVJsg
Mbssilva- Elite Jedi
- Mensagens : 359
Data de inscrição : 15/01/2015
Idade : 25
Localização : Paraná, Brasil
Re: seis cores diferentes
Caro Mbssilva:
P problema no seu raciocínio é que origina muitas repetições.
Repare na 1ª figura do meu post de 17 de Agosto: Se escolher o amarelo e o preto para as posições " de cima " e "de baixo", pode obter exatamente o mesmo cubo se escolhesse o vermelho e o azul para as posições "de cima" e "de baixo" ou ainda se escolhesse o branco e o verde para essas posições...Além disso haveria uma DUPLA repetição (Amarelo;Preto -para cima e baixo daria o mesmo que Preto;Amarelo...).Daí haver 6 repetições. Por isso 180/6=30.
Um abraço.
P problema no seu raciocínio é que origina muitas repetições.
Repare na 1ª figura do meu post de 17 de Agosto: Se escolher o amarelo e o preto para as posições " de cima " e "de baixo", pode obter exatamente o mesmo cubo se escolhesse o vermelho e o azul para as posições "de cima" e "de baixo" ou ainda se escolhesse o branco e o verde para essas posições...Além disso haveria uma DUPLA repetição (Amarelo;Preto -para cima e baixo daria o mesmo que Preto;Amarelo...).Daí haver 6 repetições. Por isso 180/6=30.
Um abraço.
parofi- Grupo
Velhos amigos do Fórum - Mensagens : 495
Data de inscrição : 28/01/2012
Idade : 63
Localização : Vila Real-PORTUGAL
Re: seis cores diferentes
O gabarito do meu livro e algumas outras páginas indicam que a resposta é 30. O que pensei foi: se fixarmos uma cor para o topo do cubo e outra para a base, qualquer que seja ordem das cores das laterais, ao rotacionar este cubo, acharemos disposições iguais de cores. Então, os cubos serão diferentes sempre que houver uma escolha diferente para topo e base. Para o topo, tem-se 6 cores disponíveis. Após a escolha da cor do topo, restam 5 cores para pintar a base.
6x5 = 30
6x5 = 30
Mairacarvalho16- Padawan
- Mensagens : 58
Data de inscrição : 03/02/2015
Idade : 25
Localização : Rio de Janeitro - RJ
Re: seis cores diferentes
Pessoal, fiz da seguinte maneira:
1)Existem 6! (Permutação de 6) possibilidades de pintar o cubo
aí, procurei achar os casos que as cores se repetem rotacionando o cubo:
para isso peguei um cubo,mentira foi meu carregador mesmo , e o rotacionei, percebi que:
2)no caso são 6x4 "perspectivas de ver o mesmo cubo"
Então dividi 6! por 24.
Dando o resultado = 30
1)Existem 6! (Permutação de 6) possibilidades de pintar o cubo
aí, procurei achar os casos que as cores se repetem rotacionando o cubo:
para isso peguei um cubo,
2)no caso são 6x4 "perspectivas de ver o mesmo cubo"
Então dividi 6! por 24.
Dando o resultado = 30
apocalipse2k- Iniciante
- Mensagens : 2
Data de inscrição : 09/03/2015
Idade : 27
Localização : Manaus, Amazonas, Brasil
Re: seis cores diferentes
Todo mundo tranquilo! Aqui está uma aula muito boa sobre esse tipo de questão.
Aqui está uma questão da UFPR um pouco mais complicada:
Aqui está uma questão da UFPR um pouco mais complicada:
felipeomestre123- Mestre Jedi
- Mensagens : 639
Data de inscrição : 15/09/2019
Idade : 21
Localização : Foz do iguaçu-PR
Fibonacci13 gosta desta mensagem
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