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seis cores diferentes

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Mensagem por Bruna Barreto Qui 16 Ago 2012, 14:51

Dispomos de seis cores diferentes.
Cada face de um cubo será pintada com uma cor diferente, de forma que as seis cores sejam utilizadas. De quantas maneiras isto pode ser feito, se uma maneira é considerada idêntica à outra, desde que possa ser obtida a partir desta por rotação do cubo?

a)36
b)18
c)30
d)12
e)24

Spoiler:
a

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Mensagem por parofi Qui 16 Ago 2012, 18:14

Olá Bruna:

Não concordo com o spoiler. Penso que a resposta certa é 30.

Imaginemos que as cores são:azul (A), vermelho (V), amarelo (a), branco (B), verde (v) e preto (P).

Podemos pintar uma face (qualquer) por exemplo com a cor azul. Isto pode-se fazer, porque as várias possibilidades dependem apenas das posições relativas das outras 5 faces pintadas com as outras 5 cores. Então para a face do cubo que se opõe à face pintada de azul temos 5 hipóteses (as restantes 5 cores). E quanto às outras 4 faces que falta pintar?
Para exemplificarmos, suponhamos que as 2 faces (opostas) pintadas até ao momento têm as cores azul(A) e vermelha(V).
-?
V?A
-?
-?
Falta pintar as faces com ponto de interrogação (?). Ora dispomos ainda de 4 cores, mas essas 4 faces fecham-se (formam um ciclo), pelo que podemos aplicar as permutações circulares (de forma idêntica à de 4 pessoas numa mesa redonda). Então o número de possibilidades é 3!=6.seis cores diferentes 6cubos

Logo, o total de casos diferentes será 5*6=30.

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Mensagem por vzz Qua 06 Mar 2013, 18:25

Olá, meu nome é Romulo e gostaria de ajuda nessa questão. Estou resolvendo o livro fundamentos de matemática elementar volume 5 e, ao chegar nessa questão, travei. Sinceramente não compreendi a explicação do amigo acima.

Eu tentei fazer de um outro jeito e, aparentemente, deu certo mas não sei se foi coincidência ou se está, de fato, correto.

Alguém poderia me dizer se está correto o que eu fiz?

Eu fiz uma combinação de 6,4 já que tem 6 cores para 4 posições, o que me resulta em 15. Depois, para a outra maneira de rotacionar, fiz a mesma coisa. Então, 15+15=30.

Obrigado.
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seis cores diferentes Empty Re: seis cores diferentes

Mensagem por nandofab Seg 20 Abr 2015, 22:10

Com base na resolução do parofi, pensei na seguinte solução: no cubo planificado, nos quadrados onde estão as cores vermelho e azul, poderíamos fazer a seguinte combinação :  vermelho e azul, vermelho e branco, vermelho e amarelo etc... => Total: C 6,2 == 15.  Ao escolhermos essas duas cores, as 4 restantes estarão determinadas. Logo, devemos permutá-las: 3!

resultado:   15 x 3! = 90.   Por que meu pensamento está errado?????

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Mensagem por parofi Dom 03 Maio 2015, 07:43

Olá nando.
O erro está em que com o seu raciocínio vai haver repetição (3 vezes) da mesma configuração (dado que com as rotações vai dar a mesma coisa). Exemplo:
Seja B-branco; a-amarelo;P-preto;v-verde;A-azul e V-vermelho.
Se escolher para os quadrados onde estão V (vermelho) e A (azul), uma hipótese era a da minha primeira figura:
 a
VBA
 P
 v
Mas se escolher P e a para aqueles dois lugares, obtém-se a mesma configuração para:
 V
PBa
 A
 v.
E se escolher para aqueles dois lugares v e B, obtém-se o mesmo para:
 V
vPB
 A
 a.

Assim triplica a mesma configuração. Daí ter obtido 3*30=90.
Um abraço.

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Mensagem por Mbssilva Seg 04 Maio 2015, 13:27

Pensei da seguinte maneira:
Um cubo no espaço. Então por mais que rotacionemos ele as cores de cima e baixo serão as mesmas. Logo são 6 possibilidades para parte de cima e 5 para a de baixo. Para as laterais apliquei uma permutação circular PC4=6. Logo o número de modos é 6*5*6=180.
Não entendo qual foi meu erro. Agradeço qualquer ajuda.

____________________________________________

Baixe o livro Análise Combinatória e Probabilidade do A.C. Morgado com o gabarito e o solucionário dos exercícios.

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Mensagem por parofi Qui 11 Jun 2015, 17:53

Caro Mbssilva:
P problema no seu raciocínio é que origina muitas repetições.
Repare na 1ª figura do meu post de 17 de Agosto: Se escolher o amarelo e o preto para as posições " de cima " e "de baixo", pode obter exatamente o mesmo cubo se escolhesse o vermelho e o azul para as posições "de cima" e "de baixo" ou ainda se escolhesse o branco e o verde para essas posições...Além disso haveria uma DUPLA repetição (Amarelo;Preto -para cima e baixo daria o mesmo que Preto;Amarelo...).Daí haver 6 repetições. Por isso 180/6=30.
Um abraço.

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Mensagem por Mairacarvalho16 Qua 03 Maio 2017, 21:27

O gabarito do meu livro e algumas outras páginas indicam que a resposta é 30. O que pensei foi: se fixarmos uma cor para o topo do cubo e outra para a base, qualquer que seja ordem das cores das laterais, ao rotacionar este cubo, acharemos disposições iguais de cores. Então, os cubos serão diferentes sempre que houver uma escolha diferente para topo e base. Para o topo, tem-se 6 cores disponíveis. Após a escolha da cor do topo, restam 5 cores para pintar a base.

6x5 = 30
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Mensagem por apocalipse2k Sex 21 Set 2018, 21:09

Pessoal, fiz da seguinte maneira: 

1)Existem 6! (Permutação de 6) possibilidades de pintar o cubo

aí, procurei achar os casos que as cores se repetem rotacionando o cubo:

para isso peguei um cubo, mentira foi meu carregador mesmo Shocked, e o rotacionei, percebi que:

2)no caso são 6x4 "perspectivas de ver o mesmo cubo"

Então dividi 6! por 24.

Dando o resultado = 30   lol!

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seis cores diferentes Empty Re: seis cores diferentes

Mensagem por felipeomestre123 Seg 28 Jun 2021, 13:41

Todo mundo tranquilo! Aqui está uma aula muito boa sobre esse tipo de questão.





Aqui está uma questão da UFPR um pouco mais complicada:


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