Equações algébricas Briot-Ruffini
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Equações algébricas Briot-Ruffini
Usando o dispositivo de Briot-Ruffini, encontre o conjunto de valores de a e b para os quais x = -3 é raíz dupla do polinômio.
Agora resolva usando a definição de raiz de polinômio.
Agora resolva usando a definição de raiz de polinômio.
Rubens Gasparotto- Iniciante
- Mensagens : 12
Data de inscrição : 02/04/2012
Idade : 58
Localização : Sorocaba
Re: Equações algébricas Briot-Ruffini
Vou editar minha análise e postar para podermos discutir a questão.
JoaoGabriel- Monitor
- Mensagens : 2344
Data de inscrição : 30/09/2010
Idade : 28
Localização : Rio de Janeiro
Re: Equações algébricas Briot-Ruffini
Temos o seguinte polinômio:
De modo geral sabemos que qualquer polinômio pode ser escrito na forma genérica:
Note que havendo repetição de alguma raíz, teremos a potência desta, e esta potência é justamente a multiplicidade dessa rzís. Denotemos por m. Sendo m a multiplicidade da raíz x1 de P(x), P(x) pode ser escrito da forma:
Feita esta análise, partemos para a questão:
Queremos que -3 seja raíz dupla de P(x), ou seja, raíz de multiplicidade 2. Assim sendo, e denotando por a e b as outras raízes, teremos P(x) escrito da seguinte forma:
Isto nos garante que o grau do polinômio pode ser reduzido duas vezes para x = -3. Reduzindo assim obteremos o seguinte resto (não sei como postar a aplicação do dispositivo por Látex, se você não souber me avise que eu dou um jeito):
Como -3 é raíz, devemos ter o resto igual a zero. Igualando assim:
Agora basta substituir esta relação nos coeficientes reduzidos e repetir o processo de redução, novamente para x = 3.
Outra saída seria por relações de Girard. Tente analisar a questão agora. Acho que o post já está demasiado longo, e não poderei continuar porque tenho que sair.
Qualquer coisa estamos aí!
Abraços
De modo geral sabemos que qualquer polinômio pode ser escrito na forma genérica:
Note que havendo repetição de alguma raíz, teremos a potência desta, e esta potência é justamente a multiplicidade dessa rzís. Denotemos por m. Sendo m a multiplicidade da raíz x1 de P(x), P(x) pode ser escrito da forma:
Feita esta análise, partemos para a questão:
Queremos que -3 seja raíz dupla de P(x), ou seja, raíz de multiplicidade 2. Assim sendo, e denotando por a e b as outras raízes, teremos P(x) escrito da seguinte forma:
Isto nos garante que o grau do polinômio pode ser reduzido duas vezes para x = -3. Reduzindo assim obteremos o seguinte resto (não sei como postar a aplicação do dispositivo por Látex, se você não souber me avise que eu dou um jeito):
Como -3 é raíz, devemos ter o resto igual a zero. Igualando assim:
Agora basta substituir esta relação nos coeficientes reduzidos e repetir o processo de redução, novamente para x = 3.
Outra saída seria por relações de Girard. Tente analisar a questão agora. Acho que o post já está demasiado longo, e não poderei continuar porque tenho que sair.
Qualquer coisa estamos aí!
Abraços
JoaoGabriel- Monitor
- Mensagens : 2344
Data de inscrição : 30/09/2010
Idade : 28
Localização : Rio de Janeiro
Re: Equações algébricas Briot-Ruffini
Ok João Gabriel, me ajudou muito, obrigado!!!
Rubens Gasparotto- Iniciante
- Mensagens : 12
Data de inscrição : 02/04/2012
Idade : 58
Localização : Sorocaba
Re: Equações algébricas Briot-Ruffini
Usando Briott-Ruffini
__| 1 .......... 4 ............ a ............. b ............... -27
-3 | 1 .......... 1 .......... a-3 ....... b-3a+9 .....9a-3b-54 ----> 9a - 3b - 54 = 0 ----> 3a - b = 18 ---> I
-3 | 1 ......... -2 .......... a+3 ....... b-6a -----> b - 6a = 0 ----> b = 6a ----> II
II em I -----> 3a - 6a = 18 -----> a = - 6
II ----> b = 6a ----> b = 6*(-6) ----> b = - 36
p(x) = x^4 + 4x³ - 6x³ - 36x - 27
Para cacular as outras duas raízes ----> x² - 2x + (a+3) = 0 ----> x² - 2x - 3 = 0
∆ = (-2)² - 4*1*(-3) ----> ∆ = 16 ----> \/∆ = 4
Raízes ----> x = (2 + 4)/2 = 3 e x = (2 - 4)/2 = -1
__| 1 .......... 4 ............ a ............. b ............... -27
-3 | 1 .......... 1 .......... a-3 ....... b-3a+9 .....9a-3b-54 ----> 9a - 3b - 54 = 0 ----> 3a - b = 18 ---> I
-3 | 1 ......... -2 .......... a+3 ....... b-6a -----> b - 6a = 0 ----> b = 6a ----> II
II em I -----> 3a - 6a = 18 -----> a = - 6
II ----> b = 6a ----> b = 6*(-6) ----> b = - 36
p(x) = x^4 + 4x³ - 6x³ - 36x - 27
Para cacular as outras duas raízes ----> x² - 2x + (a+3) = 0 ----> x² - 2x - 3 = 0
∆ = (-2)² - 4*1*(-3) ----> ∆ = 16 ----> \/∆ = 4
Raízes ----> x = (2 + 4)/2 = 3 e x = (2 - 4)/2 = -1
Elcioschin- Grande Mestre
- Mensagens : 71437
Data de inscrição : 15/09/2009
Idade : 77
Localização : Santos/SP
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