Sistema de Equações

Quem saberia resolver este sistema:

x - y)(x² - y²) = xy - 729
(x + y)(x² + y²) = xy + 209871


Desde já, muito obrigado.
Um abraço!

Olá,senhor ivomilton.



Subtraindo a 2º equação da 1ª teremos:



Vamos colocar o fator (x+y) em evidência



Utilizando as duas incógnitas (a) e (b) teremos:











Vou deixar o restante pra quem quiser continuar.

2xy*(x + y) = 210 600

xy(x + y) = 105 300

xy(x + y) = 2²*3²*5²*117

Pesquisa dos divisores intermediários -----> xy*(x + y) = 1404*75

x + y = 75 ----> x = 75 - y

xy = 1404 ----> x*(75 - x) = 1404 ----> x² - 75x + 1404 = 0 ----> Raízes x = 36 e x = 39

Aos amigos Adriano e Elcio, os meus parabéns pela resolução em conjunto de minha questão sobre sistema de equações!
Fico-lhes muito agradecido pelo excelente trabalho, pois a mesma estava completando um ano neste mês, e vocês conseguiram resolvê-la em valores inteiros de "x" e "y".

Essa questão foi-me passada por um amigo e, na ocasião, resolvi da seguinte forma:
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1º) Desenvolvi os primeiros membros de cada equação:

(x - y)(x² - y²) = xy - 729
(x + y)(x² + y²) = xy + 209871

x³ - x²y - xy² + y³ = xy - 729 ........... [1]
x³ + x²y + xy² + y³ = xy + 209871 ..... [2]

A seguir, multipliquei [1] por (-1) e adicionei à [2]:
(Coloquei sinal (+) mesmo onde era desnecessário, a fim de melhor posicionar os termos)

- x³ + x²y + xy² - y³ = - xy + 729
+ x³ + x²y + xy² + y³ = + xy + 209871
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..... + 2x²y + 2xy² ... = .... + 210600

Simplifiquei ambos os membros por 2:

x²y + xy² = 105300

Colocando "xy" em evidência, ficou:

xy.(x+y) = 105300

Os valores de "x" e de "y" poderiam estar próximos ou distantes um do outro.
Considerei que seus valores estivessem o mais próximo possível; a princípio, considerei-os iguais:

x=y
xy = x.x = x²
x+y = x+x = 2x

Assim, transformei

xy.(x+y) = 105300

em

x².(2x) = 105300
2.x³ = 105300
x³ = 105300/2 = 52650
x = ³√52650 = 37,48
x² = (37,48)²= 1404,75
2x = 2*37,48 = 74,96

Continuando, arredondei este último para 75 e calculei quanto ficaria para o outro fator:

105300/75 = 1404

√1404 = 37,47

Como estava querendo fazer x=y, seus valores (se esta fosse a solução) iriam girar ao redor de 37,47.

De fato, 1404 = 36 x 39
E 36 + 39 = 75

Então, os valores de "x" e "y" que satisfazeram ao sistema foram:
x = 36 ; y = 39 (ou vice-versa: x = 39 ; y=36)

Foi uma coincidência tê-las obtida assim, de pronto; claro!
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Por ter havido, então, essa coincidência, resolvi colocar a questão no site, e aguardar que alguém tivesse uma solução mais adequada.
E foi o que vocês agora, em conjunto, conseguiram.
Mais uma vez, os meus parabéns!






O Senhor lhes dê uma abençoada semana!