quadrado, triângulo e circuferência.

Na figura abaixo, estão representados um quadrado ABCD, um triângulo eqüilátero ABE , ambos de lado a unidades de comprimento e uma circunferência de raio r unidades de comprimento. Considerando que a circunferência é tangente ao lado do triângulo e a dois lados consecutivos do

jtonhao escreveu: Na figura abaixo, estão representados um quadrado ABCD, um triângulo eqüilátero ABE , ambos de lado a unidades de comprimento e uma circunferência de raio r unidades de comprimento. Considerando que a circunferência é tangente ao lado do triângulo e a dois lados consecutivos do

Boa tarde, Tonhão.

Sendo o ∆AEB equilátero, seu ^EBA mede 60°; consequentemente o ^EBC deverá medir 30° (=90°-60°).
Prolongando-se o lado BE do ∆AEB até encontrar o lado DC, cuja intersecção designaremos por F, teremos formado aí um ∆ retângulo (BCF).

Calculemos, pois, as medidas dos lados CF e BF desse ∆ retângulo.

^BFC = complemento do ^CBF = 90° - 30° = 60°.
BC/CF = tg 60° = sen 60°/cos 60° = (√3/2)/(1/2) = √3
a/CF = √3
a = CF√3
CF = a/√3
CF = a√3/3

Temos então que:
BC = a
CF = a√3/3
(BF)² = (BC)² + (CF)² = (a)² + (a√3/3)² = a² + 3a²/9 = 9a²/3 + 3a²/9 = 12a²/9
BF = √(12a²//9)
BF = 2a√3/3

Para calcularmos a medida do raio, considere um ∆ retângulo com catetos iguais a X e Y e hipotenusa Z.
(X-r) + (Y-r) = Z
X + Y - 2r = Z
2r = X+Y-Z
r = (X+Y-Z)/2

Ou seja, o raio mede metade da diferença entre a soma dos catetos e a hipotenusa; portanto:

r = (BC + CF - BF)/2
r = (a + a√3/3 - 2a√3/3)/2 = a(1 + √3/3 - 2√3)/2 = a(3/3 + √3/3 - 2√3/3)/2 = a[(3 - √3)/3]/2 = a(3 - √3)/6

Finalmente, aplicando à fórmula da questão os valores de "a" e "r", fica:

21 + 7√3 ........ 21 + 7√3 ..... a(3 - √3) .... (21 + 7√3)(3 - √3) ...... 42
----------- * r = -------------- * ------------- = ------------------------- = ------ = 7
.... a ................... a ................. 6 ....................... 6 .................. 6







Um abraço.

Boa Tarde Ivomilton ,

Acho que houve um equívoco na digitação . Onde está escrito prolongando-se o ladfo AE do triângulo AEB , não deveria ser prolongando-se o lado BE ? Parabéns pela ótima resolução . att



Raimundo

raimundo pereira escreveu:Boa Tarde Ivomilton ,

Acho que houve um equívoco na digitação . Onde está escrito prolongando-se o ladfo AE do triângulo AEB , não deveria ser prolongando-se o lado BE ? Parabéns pela ótima resolução . att


Raimundo

Olá, boa tarde, Raimundo!
Realmente me confundi, o correto é mesmo BE. Já editei e corrigi.
Muito obrigado pela observação.
Valeu!







Um grande abraço.

excelente resolução.

Para calcularmos a medida do raio, considere um ∆ retângulo com catetos iguais a X e Y e hipotenusa Z.
(X-r) + (Y-r) = Z
X + Y - 2r = Z
2r = X+Y-Z
r = (X+Y-Z)/2

Não entendi essa parte. É alguma propriedade específica?

Rhayssa Alves escreveu:

Para calcularmos a medida do raio, considere um ∆ retângulo com catetos iguais a X e Y e hipotenusa Z.
(X-r) + (Y-r) = Z
X + Y - 2r = Z
2r = X+Y-Z
r = (X+Y-Z)/2

Não entendi essa parte. É alguma propriedade específica?

Boa tarde, Rhayssa.

Não tenho como esclarecer sua dúvida, pois essa questão eu resolvi em 2012 e aqui no site já não aparece a figura correspondente a essa questão.

Me desculpe, mas não consigo me lembrar direito de como era a figura.


Um abraço.

http://www.ifc-camboriu.edu.br/~matematica/ufms2006.pdf

É a imagem da questão 19.

Rhayssa Alves escreveu:http://www.ifc-camboriu.edu.br/~matematica/ufms2006.pdf

É a imagem da questão 19.

Boa tarde, Rhayssa.

Muito obrigado por me enviar o link onde encontrar a questão com a respectiva imagem.
O que você me pergunta a respeito das linhas abaixo:

"Para calcularmos a medida do raio, considere um ∆ retângulo com catetos iguais a X e Y e hipotenusa Z.
(X-r) + (Y-r) = Z
X + Y - 2r = Z
2r = X+Y-Z
r = (X+Y-Z)/2


Ou seja, o raio mede metade da diferença entre a soma dos catetos e a hipotenusa; portanto:"

Você poderá compreender clicando no link abaixo:

https://www.youtube.com/watch?v=ioRUuxlP1gQ

O modo como eu coloquei (para calcular o raio do círculo inscrito em um triângulo retângulo) é diferente, mas chega ao mesmo resultado:

r = (soma dos catetos menos hipotenusa)/2




Um abraço.

Obrigada, ivomilton!