Análise combinatória UFPE 2012.2

Um casal está fazendo uma trilha junto com outras 10 pessoas. Em algum
momento, eles devem cruzar um rio em 4 jangadas, cada uma com capacidade
para 3 pessoas (excluindo o jangadeiro). De quantas maneiras, os grupos
podem ser organizados para a travessia, se o casal quer ficar na mesma
jangada? Assinale a soma dos dígitos.

Spoiler:

Viajei aqui, não entendi como solucionar. agradeço a quem ajudar ^^

um barco vai o casal e 10 possiveis pessoas diferentes = 10
outro barco vai com 9.8.7 pessoas nao foram escolhidas ainda= 504
proximo barco ira com 6.5.4 pessoas estao para serem escolhidas= 120
e o ultimo barco ira com 3.2.1 pessoas que nao foram escolhidas = 6
totalizando 640 maneiras distintas de montar os grupos
somando os digitos 640 = 10

alguem confirma se o raciocinio esta certo

Para a jangada que contém o casal pode ser formado de 10 maneiras. Pois a terceira pessoa para essa jangada pode ser uma entre as 10.

Para a segunda jangada, faz-se combinação de 9 pessoas que restam ser escolhidas com a capacidade da jangada que é de 3 pessoas. C 9,3 = n!/(n-p)!p!=9!/6!3!=84.

Para a terceira jangada, combinação de 6 pessoas que restam (pois uma está na primeira jangada e três na segunda) com 3 da capacidade. C 6,3 = 20.

Última jangada, combinação de 3 pessoas com 3. C 3,3=1.

Pega as combinações que você obteve sem o casal ( que foram as três últimas jangadas) e divide por 3! (três fatorial), pois eram três jangadas. (84x20x1)/3!=280. Por final, multiplica pelas 10 maneiras de combinações da primeira jangada, 280x10=2800.

Como é para assinalar as somas dos dígitos, então 10 é a resposta.

Bem vinda ao fórum, HericaSouza (:

JoaoGabriel escreveu:Bem vinda ao fórum, HericaSouza (:

Muito obrigada!

Por que dividiu por 3! ?

TBM QUERO saber porque não dividir por 4!?

up

vou tentar responder da forma que pensei(em relação na parte de dividir por 3!)

no começo, você fixa um barco pro casal... dai você continua o raciocínio... porém temos 4 jangadas, então, teremos que dividir por 4! para consertar as contagens a mais.. porém, temos que multiplicar por 4, visto que o casal poderá estar em qualquer uma das quatros jangadas, não somente naquela fixa... por isso 4/4!=1/3!

eu penso ser isso, se tiver algum erro, por favor avisem, tentarei corrigi-lo.

catwopir escreveu:vou tentar responder da forma que pensei(em relação na parte de dividir por 3!)

no começo, você fixa um barco pro casal... dai você continua o raciocínio... porém temos 4 jangadas, então, teremos que dividir por 4! para consertar as contagens a mais.. porém, temos que multiplicar por 4, visto que o casal poderá estar em qualquer uma das quatros jangadas, não somente naquela fixa... por isso 4/4!=1/3!

eu penso ser isso, se tiver algum erro, por favor avisem, tentarei corrigi-lo.

Eu acho que é quase isso. Os 3 grupos repetem em ordem diferente, aí tem que dividir. O grupo do casal não tem como repetir em ordem diferente, daí ele não entra na permutação.

Por exemplo, supondo que as pessoas se chamem (1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12) e o casal é o par (1,2). A questão pede para separar essas pessoas em 4 grupos. Daí a divisão por 3! ocorre pois configurações como [(1,2,3), (4,5,6), (7,8,9), (10,11,12)] e [(1,2,3), (4,5,6),  (10,11,12), (7,8,9)] ocorrem. Observe que não tem como o grupo do casal repetir.

Creio que seja isso.