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Análise combinatória UFPE 2012.2

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Mensagem por pedro_kampos Ter 31 Jul 2012, 03:17

Um casal está fazendo uma trilha junto com outras 10 pessoas. Em algum
momento, eles devem cruzar um rio em 4 jangadas, cada uma com capacidade
para 3 pessoas (excluindo o jangadeiro). De quantas maneiras, os grupos
podem ser organizados para a travessia, se o casal quer ficar na mesma
jangada? Assinale a soma dos dígitos.

Spoiler:

Viajei aqui, não entendi como solucionar. agradeço a quem ajudar ^^
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Mensagem por predattor Ter 31 Jul 2012, 08:04

um barco vai o casal e 10 possiveis pessoas diferentes = 10
outro barco vai com 9.8.7 pessoas nao foram escolhidas ainda= 504
proximo barco ira com 6.5.4 pessoas estao para serem escolhidas= 120
e o ultimo barco ira com 3.2.1 pessoas que nao foram escolhidas = 6
totalizando 640 maneiras distintas de montar os grupos
somando os digitos 640 = 10

alguem confirma se o raciocinio esta certo

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Mensagem por HericaSouza Qui 03 Jan 2013, 23:47

Para a jangada que contém o casal pode ser formado de 10 maneiras. Pois a terceira pessoa para essa jangada pode ser uma entre as 10.

Para a segunda jangada, faz-se combinação de 9 pessoas que restam ser escolhidas com a capacidade da jangada que é de 3 pessoas. C 9,3 = n!/(n-p)!p!=9!/6!3!=84.

Para a terceira jangada, combinação de 6 pessoas que restam (pois uma está na primeira jangada e três na segunda) com 3 da capacidade. C 6,3 = 20.

Última jangada, combinação de 3 pessoas com 3. C 3,3=1.

Pega as combinações que você obteve sem o casal ( que foram as três últimas jangadas) e divide por 3! (três fatorial), pois eram três jangadas. (84x20x1)/3!=280. Por final, multiplica pelas 10 maneiras de combinações da primeira jangada, 280x10=2800.

Como é para assinalar as somas dos dígitos, então 10 é a resposta.

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Mensagem por JoaoGabriel Qui 03 Jan 2013, 23:50

Bem vinda ao fórum, HericaSouza (:

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Mensagem por HericaSouza Sex 04 Jan 2013, 13:36

JoaoGabriel escreveu:Bem vinda ao fórum, HericaSouza (:


Muito obrigada! Smile

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Mensagem por APSmed Dom 29 Maio 2016, 18:47

Por que dividiu por 3! ?

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Mensagem por matheusfern57 Ter 16 Mar 2021, 11:05

TBM QUERO saber porque não dividir por 4!?
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Mensagem por catwopir Ter 08 Fev 2022, 12:07

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Mensagem por catwopir Sex 11 Fev 2022, 11:06

vou tentar responder da forma que pensei(em relação na parte de dividir por 3!)

no começo, você fixa um barco pro casal... dai você continua o raciocínio... porém temos 4 jangadas, então, teremos que dividir por 4! para consertar as contagens a mais.. porém, temos que multiplicar por 4, visto que o casal poderá estar em qualquer uma das quatros jangadas, não somente naquela fixa... por isso 4/4!=1/3!

eu penso ser isso, se tiver algum erro, por favor avisem, tentarei corrigi-lo.
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Mensagem por tales amaral Sex 11 Fev 2022, 18:06

catwopir escreveu:vou tentar responder da forma que pensei(em relação na parte de dividir por 3!)

no começo, você fixa um barco pro casal... dai você continua o raciocínio... porém temos 4 jangadas, então, teremos que dividir por 4! para consertar as contagens a mais.. porém, temos que multiplicar por 4, visto que o casal poderá estar em qualquer uma das quatros jangadas, não somente naquela fixa... por isso 4/4!=1/3!

eu penso ser isso, se tiver algum erro, por favor avisem, tentarei corrigi-lo.

Eu acho que é quase isso. Os 3 grupos repetem em ordem diferente, aí tem que dividir. O grupo do casal não tem como repetir em ordem diferente, daí ele não entra na permutação.

Por exemplo, supondo que as pessoas se chamem (1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12) e o casal é o par (1,2). A questão pede para separar essas pessoas em 4 grupos. Daí a divisão por 3! ocorre pois configurações como [(1,2,3), (4,5,6), (7,8,9), (10,11,12)] e [(1,2,3), (4,5,6),  (10,11,12), (7,8,9)] ocorrem. Observe que não tem como o grupo do casal repetir.

Creio que seja isso. cheers
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