Números complexos (5)

por Fernando_Vieira Sáb 28 Jul - 13:14

PROVE que

$Números complexos (5) Gif$ .

por **Robson Jr.** Sáb 28 Jul - 19:22

Considere as soluções da equação $x^5=1$ .

Todo número que satisfaz essa igualdade é uma raiz quinta da unidade, e tem a forma:

$x=cis\left ( \frac{2k\pi}{5} \right ), \ k \in \left \{ 0,1,2,3,4 \right \}$

Substituindo os valores possíveis de k, obtemos os complexos abaixo:

$\\ x_1=1; \ x_2=cis(72º); \ x_3=cis(144º); \ x_4=cis(216º); \ x_5=cis(288º)$

A equação pode ser vista como $\small x^5+0.x^4-1=0$ . Pelas relações de Girard, temos que a soma das raízes é nula.
Isto é:

$\small \\ 1+cis(72º)+cis(144º)+cis(216º)+cis(288º)=0$

Se pensarmos na relação acima como uma igualdade de complexos, as partes reais de ambos os lados devem ser iguais.

$\small Re\left ( 1+cis(72º)+cis(144º)+cis(216º)+cis(288º)\right )=Re(0) \\ \Leftrightarrow{\color{Red} 1+cos(72º)+cos(144º)+cos(216º)+cos(288º)=0}$

CqD

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