TRIGONOMETRIA

por Jônatas Arthur De F. L. Qua 25 Jul 2012, 22:10

Na ilustração abaixo, a casa situada no ponto B deve ser ligada com um cabo
subterrâneo de energia elétrica, saindo do ponto A. Para calcular a distância
AB, são medidos a distância e os ângulos a partir de dois pontos O e P,
situados na margem oposta do rio, sendo O, A e B colineares. Se OPA = 30o,
POA = 30o, APB = 45o e OP = (3 + 3 )km, calcule AB em hectômetros

https://2img.net/r/ihimg/photo/my-images/855/semttulochx.png/

por **JoaoGabriel** Qua 25 Jul 2012, 22:15

Jônatas Arthur De F. L. escreveu: OP = (3 + 3 )km

O certo é 3 + V3. Achei estranho e conferi o enunciado original. Tome cuidado com esses descuidos.

Vou postar minha tentativa.

por **JoaoGabriel** Qua 25 Jul 2012, 22:32

OPA = POA =30º; APB = 45º e OP + 3 +V3 km.
AB = ?

OPA + POA + OAP = 180º --> 60 + OAP = 180 --> OAP = 120º

OP/sen 120 = OA/sen 30

(3 + V3)/2 = OA*V3/2

OA = (3V3 + 3)/3 = 3(V3 + 1)/3 = V3 + 1

Temos então que OA = AP = V3 + 1.

Chamemos AB de x e BP de y

Lei dos cossenos no triângulo ABP:

y² = x² + (V3 + 1)² - 2*x*(V3 + 1)*cos 60

Lei dos cossenos no triângulo OBP:

y² = (3+ V3)² + (V3 + 1 +x)² - 2*(3+ V3)*(V3 + 1 +x)*cos 30

Resolva então esse sistema pouco confortável e chegará à resposta em km, depois converta para hm. Acho que é isso, abraços

por Jônatas Arthur De F. L. Qua 25 Jul 2012, 23:23

A resposta dá 20... aqui não tá dando certo :S

por Jônatas Arthur De F. L. Qua 25 Jul 2012, 23:37

A minha resposta deu 3. :s

por **Robson Jr.** Qui 26 Jul 2012, 02:38

Podemos encurtar a resposta do amigo JoaoGabriel percebendo que o triângulo BOP também é isósceles, isto é, OP = OB.
Seja AO = AP = t, AB = x.

Lei dos cossenos em AOP:

$\small \\ \overline{OP}^2=\overline{AO}^2+\overline{AP}^2-2.\overline{AO}.\overline{AP}.cos(120º) \\ (3+\sqrt{3})^2=2.t^2-2.t^2.(-\frac{1}{2})\\ 12+6\sqrt{3}=3t^2 \rightarrow t^2=4+2\sqrt{3}=(1+\sqrt{3})^2 \rightarrow {\color{Red} t=1+\sqrt{3}}$

Usando o fato BOP ser isósceles:

$\small \\ 3+\sqrt{3}=t+x \\ 3+\sqrt{3}=1+\sqrt{3}+x \rightarrow {\color{Red} x=2 \ km = {\color{Red} 20 \ hm}}$

Não uso essa parada de hectômetro desde a terceira série kkkkkkk

por **Elcioschin** Qui 26 Jul 2012, 09:16

Robson

Apenas para não ter que calcular o radical duplo de t² = 4 + 2*\/3:

(3 + \/3)² = 3*t² ---> 3 + \/3 = \/3*t ---> t = (3 + \/3)/\/3 ---> t = (3 + \/3)*\/3/3 ---> t = 1 + \/3