Determine valor de "p" de moto que o triangulo seja retangulo em B

por karine assumpção lopes Qua 25 Jul 2012, 09:36

Sendo os pontos A (1,p), B (3,4) e C (3,4), como faço para determinar o valor de "p" para que o triângulo seja retângulo em B?

por **Jose Carlos** Qua 25 Jul 2012, 10:16

olá karine,

Por gentileza confirme o enunciado da questão.

B( 3, 4 ) e C( 3, 4 ) ??

por karine assumpção lopes Qua 25 Jul 2012, 10:19

Desculpa, os pontos são A (1,p), B (5, -1) e C (3,4)

por **Bá Poli** Qua 25 Jul 2012, 10:52

Para o triângulo ser retângulo em B ---> AC é a hipotenusa e AB e BC são catetos.
Então:
(dAB)² + (dBC)² = (dAC)²

$(\sqrt{(1-5)^{2} + [p- (-1)]^{2}})^{2} +(\sqrt{(5-3)^{2} + (-1-4)^{2}})^{2}=(\sqrt{(1-3)^{2} + (p-4)^{2}})^{2}$

(1-5)² + [p- (-1)]² + (5-3)² + (-1 -4)² = (1-3)² + (p-4)²

16 + p² + 2p + 1 + 4 + 25 = 4 + p² -8p + 16

p = -13/5

por **Pietro di Bernadone** Qua 25 Jul 2012, 11:05

Bom dia Karine!

Primeiro, utilize distância entre dois pontos. Veja:

Sendo A(1,p) e B(5,-1)

d(A,B) = V(5-1)² + (-1-p)² --> d(A,B) = V17 +2p +p² (Obs.: O "V" é raiz quadrada).

Sendo A(1,p) e C(3,4)

d(A,C) = V(3-1)² + (4-p)² --> d(A,C) = V20 -8p +p² (Obs.: O "V" é raiz quadrada).

Sendo B(5,-1) e C(3,4)

d(B,C) = V(3-5)² + (4+1)² --> d(B,C) = V29 (Raiz de 29)

Pelo fato do triângulo ser retângulo, podemos utilizar Pitágoras. Veja:

a² = b² + c²

( V20 -8p +p² )² = ( V17 +2p +p² )² + ( V29 )²

Eliminando as raízes, temos: 20 - 8p +p² = 17 +2p + p² +29

Repare que o "p²" irá sumir.. Ficando apenas: 20 - 8p = 17 +2p + 29

-8p -2p = 17 - 20 +29

-10p = 26 --> p = -13/5

Espero ter ajudado.

Abraço,

Pietro

por **Jose Carlos** Qua 25 Jul 2012, 11:13

movendo a questão para -> Nível Médio -> Geometria Analítica

por karine assumpção lopes Sáb 28 Jul 2012, 00:51

Pietro di Bernadone escreveu:Bom dia Karine!

Primeiro, utilize distância entre dois pontos. Veja:

Sendo A(1,p) e B(5,-1)

d(A,B) = V(5-1)² + (-1-p)² --> d(A,B) = V17 +2p +p² (Obs.: O "V" é raiz quadrada).

Sendo A(1,p) e C(3,4)

d(A,C) = V(3-1)² + (4-p)² --> d(A,C) = V20 -8p +p² (Obs.: O "V" é raiz quadrada).

Sendo B(5,-1) e C(3,4)

d(B,C) = V(3-5)² + (4+1)² --> d(B,C) = V29 (Raiz de 29)

Pelo fato do triângulo ser retângulo, podemos utilizar Pitágoras. Veja:

a² = b² + c²

( V20 -8p +p² )² = ( V17 +2p +p² )² + ( V29 )²

Eliminando as raízes, temos: 20 - 8p +p² = 17 +2p + p² +29

Repare que o "p²" irá sumir.. Ficando apenas: 20 - 8p = 17 +2p + 29

-8p -2p = 17 - 20 +29

-10p = 26 --> p = -13/5

Espero ter ajudado.

Abraço,

Pietro

Me ajudou bastante sim Pietro e muito obrigada por ter deixado tudo bem explicado, pois assim fica mais fácil de ser compreendido.

Obrigada, boa noite.