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Mensagem por raimundo pereira Sex 20 Jul 2012, 20:58

[CN - 1990] - Raio do círculo 2euj5gy

Dados :

Centro O
P ponto interior qualquer
PM = MB = a
AB é tangente ao círculo em A

O raio do círculo da figura acima, onde a² = bc é igual a :

a) | a + c - b |

b) | 2a + c - b |

c) | a + b - c |

d) | 2a - c |

e) | b - c |
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Mensagem por raimundo pereira Seg 30 Jul 2012, 18:15

Quem vai me dar uma ajuda nessa?

Raimundo
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Mensagem por parofi Seg 30 Jul 2012, 18:48

Olá: Resolvi do seguinte modo:

r^2+b^2=OB^2 (I) (Tomando o triângulo retângulo OAB)

Considerando o triângulo OPM, pelo Teorema dos cossenos: r^2=a^2+c^2-2ac.cosθ (II)

Tomando o triângulo OPB, também pelo Teorema dos cossenos:OB^2=c^2+(2a)^2-2c(2a).cosθ (III)

DE (II) e (III), vem que (a^2+c^2-r^2)/(2ac)=(c^2+4a^2-r^2-b^2)/(4ac)..., o que dá: r^2=c^2+b^2-2a^2. Substituindo a^2 por bc (dado do enunciado), vem: r^2=c^2+b^2-2bc=(c-b)^2. Logo r=|c-b|=|b-c|.

Um abraço.

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Mensagem por raimundo pereira Seg 30 Jul 2012, 19:36

Valeu Parofi. Muito bom -- goooooool !!! de placa. Imagine você uma questão dessa ser cobrada a nível de ensino Fundamental. Obrigado . um abraço



att Raimundo
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Mensagem por Armando Vieira Seg 16 Fev 2015, 12:38

Não entendi essa passagem:.
DE (II) e (III), vem que (a^2+c^2-r^2)/(2ac)=(c^2+4a^2-r^2-b^2)/(4ac)..., o que dá: r^2=c^2+b^2-2a^2. Substituindo a^2 por bc (dado do enunciado), vem: r^2=c^2+b^2-2bc=(c-b)^2. Logo r=|c-b|=|b-c|

Alguém pode explicar como chegou-se a essa expressão:.(a^2+c^2-r^2)/(2ac)=(c^2+4a^2-r^2-b^2)/(4ac)
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Mensagem por parofi Seg 16 Fev 2015, 14:46

Olá Armando,

Da igualdade II, tiramos que cosθ=(r^2-a^2-c^2)/(-2ac), o que é equivalente a cosθ=(a^2+c^2-r^2)/2ac.
Da igualdade III, tiramos que cosθ=(OB^2-c^2-(2a)^2)/(-4ac), o que é equivalente a cosθ=(c^2+4a^2-OB^2)/(4ac)
Mas, pela igualdade I, temos r^2+b^2=OB^2. Então, substituindo , vem:
cosθ=(c^2+4a^2-r^2-b^2)/(4ac).

Igualando as duas expressões do cos θ, vem a igualdade referida.
Espero que tenha sido mais claro.
Um abraço,
Parofi

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Mensagem por Armando Vieira Seg 16 Fev 2015, 14:49

@parofi escreveu:Olá Armando,

Da igualdade II, tiramos que cosθ=(r^2-a^2-c^2)/(-2ac), o que é equivalente a cosθ=(a^2+c^2-r^2)/2ac.
Da igualdade III, tiramos que cosθ=(OB^2-c^2-(2a)^2)/(-4ac), o que é equivalente a cosθ=(c^2+4a^2-OB^2)/(4ac)
Mas, pela igualdade I, temos r^2+b^2=OB^2. Então, substituindo , vem:
cosθ=(c^2+4a^2-r^2-b^2)/(4ac).

Igualando as duas expressões do cos θ, vem a igualdade referida.
Espero que tenha sido mais claro.
Um abraço,
Parofi
Muito obrigado parofi!!!
Very Happy Very Happy Very Happy
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Mensagem por RafaelSchuinki Ter 19 Maio 2020, 20:48

Usando potência de ponto em relação a P:
(seja x a distância entre P e a outra intersecção, além de M, da reta MB com a circunferência)

(R-c)(R+c)=a x \\
x = \frac{R^2 - c^2}{a}

Potência de ponto usando a tangente


b^2=a(2a+\frac{R^2-c^2}{a}) \rightarrow |b-c|=R

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