Conjunto solução da inequação

por Carolziiinhaaah Sex 20 Jul 2012, 15:12

O Conjunto solução da inequação $\frac{1}{4} \leq senx.cosx\leq \frac{\sqrt{2}}{2}, \; para\; 0\leq x\leq \pi$ , é:

a) $x \; \epsilon \; \mathbb{R} | \; \frac{\pi }{12} \leq x< \frac{\pi }{6}$
b) $x \; \epsilon \; \mathbb{R} | \; \frac{\pi }{12} < x< \frac{5\pi }{3}$
c) $x \; \epsilon \; \mathbb{R} | \; \frac{5\pi }{12} \leq x\leq \frac{5\pi }{6}$
d) $x \; \epsilon \; \mathbb{R} | \; \frac{\pi }{12} \leq x\leq \frac{5\pi }{12}$

gabarito: d)

por **Robson Jr.** Sex 20 Jul 2012, 16:35

$\\ \frac{1}{4}\leq senx.cosx \leq \frac{\sqrt{2}}{2} \Leftrightarrow \\\\ \frac{1}{2} \leq 2.senx.cosx \leq \sqrt{2} \Leftrightarrow \\\\ \frac{1}{2} \leq sen(2x) \leq \sqrt{2}$

√2 > 1, logo √2 > seno(qualquer coisa)

Para sen(2x) ≥ 1/2 no intervalo considerado, basta que 2x esteja entre 30º e 150º.

$\\ \frac{\pi}{6} \leq 2x \leq \frac{5\pi}{6} \Rightarrow \\\\ \frac{\pi}{12} \leq x \leq \frac{5\pi}{12}$

por **Al.Henrique** Sex 20 Jul 2012, 16:55

Robson Jr. escreveu:

√2 > 1, logo √2 > seno(qualquer coisa)

Para sen(2x) ≥ 1/2 no intervalo considerado, basta que 2x esteja entre 30º e 150º.

$Conjunto solução da inequação Gif$

Completando o que nosso amigo Robson disse:

Podemos escrever a desigualdade sen(2x) ≥ 1/2 , como :

sen(2x) ≥ 1/2
sen(2x) ≥ sen(∏/6)
2x ≥ ∏/6
x ≥ ∏/12

ou

sen(2x) ≤ sen(5∏/6)
2x ≤ 5∏/6
x ≤ 5∏/12

Fazendo a intecessão dos resultados :

∏/12 ≤ x ≤ 5∏/12

Basta lembrar que existem dois lugares no círculo trogonométrico cujo seno vale +1/2, por isso abrimo em 2 casos.