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O determinante de Vandermonde como um polinômio

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O determinante de Vandermonde como um polinômio Empty O determinante de Vandermonde como um polinômio

Mensagem por Robson Jr. Dom 01 Jul 2012, 22:34

O tópico está extenso por causa das matrizes, mas a demonstração é muito simples.

Pré-requisitos:

I. Teorema Fundamental da Álgebra: Um polinômio p(x) de grau n possui exatamente n raízes.
II. Teorema das Filas: Se duas filas paralelas de um determinante são proporcionais, o determinante é nulo.
III. Noções sobre a definição de determinante.
IV. Teorema de Laplace.

Seja V(n) o determinante de Vandermonde n x n.

Análise de V(1) e V(2):

Ambos serão calculados normalmente.





Análise de V(3):

Seja V(3) um polinômio na variável c.



De III, temos que nenhuma parcela de V(3) incluirá o produto de dois ou mais elementos de uma mesma coluna.
Portanto pode-se garantir que o termo líder terá o mesmo grau da maior potência de c na matriz (grau 2), o que implica, vide I, na existência de exatamente 2 raízes.

De fato, pelo teorema II, se c = b ou c = a temos V(3) = 0. Segue que a e b são raízes de V(3), o que permite escrever:



Aplicando Laplace na 3ª coluna, vem:

, donde segue que k = V(2).



Análise de V(4):

Seja V(4) um polinômio na variável d.



Procedendo analogamente a V(3), conclui-se que V(4) é de grau 3 e tem raízes d = c, d= b e d = a.



Laplace na 4ª coluna:

, donde segue k' = V(3).



Generalização:

Podemos conjeturar o seguinte para V(n):



Supondo a expressão de V(n) verdadeira, para V(n+1) teríamos:



De II, são raízes z = y, ..., z = c, z = b, z = a.



Laplace na (n+1)-ésima coluna:

, donde segue que k'' = V(n).



A expressão obtida é idêntica àquela que originaria da aplicação da conjetura para V(n+1). Como a conjetura vale para a base de indução V(2) (lembre que V(1) = 1) e ela ser verdadeira para V(n) implica em sua veracidade para V(n+1), pelo princípio da indução finita ela vale para toda matriz de Vandermonde V(m), m ≥ 2.

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O determinante de Vandermonde como um polinômio Empty Re: O determinante de Vandermonde como um polinômio

Mensagem por Al.Henrique Dom 22 Jul 2012, 07:05

Exelente Dem. Very Happy !

Parabéns.
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