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Função

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Mensagem por dgohh Ter 12 Jun 2012, 07:49

Esta questão está em uma das listas que recebemos do cursinho preparatório para o ITA onde eu estudo e não consegui resolver. Gostaria de saber se alguem pode me ajudar:

"Considerando todas as funções quadráticas f:R-R definidas por f(x)=ax^2 + bx + c tais que a=0 para todo x, determine o valor mínimo da expressão (a+b+c)/(b-c)"

Nem eu e nem muito menos os plantonistas do cursinho onde eu estudo conseguimos resolver.
Muito obrigado!
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Mensagem por rihan Ter 12 Jun 2012, 14:29

@dgohh escreveu:Esta questão está em uma das listas que recebemos do cursinho preparatório para o ITA onde eu estudo e não consegui resolver. Gostaria de saber se alguem pode me ajudar:

"Considerando todas as funções quadráticas f:R-R definidas por f(x)=ax^2 + bx + c tais que a=[b]0 para todo x, determine o valor mínimo da expressão (a+b+c)/(b-c)"

Nem eu e nem muito menos os plantonistas do cursinho onde eu estudo conseguimos resolver.
Muito obrigado!


Se o enunciado da questão é exatamente este, o menor valor é um limite: –∞

f(x) = ax² + bx + c

∀x --> a = 0 --> para todo Real a = 0 -->

Como f tem domínio R e codomínio R

f(x) = bx + c

E(b,c) = (b+c)/(b-c) , b e c pertencem aos reais (função de duas variáveis )

Para

b - c = 0 --> b = c , E(b.c) não é definida.

Então:

b ≠ c

Duas hipóteses:

1ª) b > c

--> b - c > 0

Se b > 0 e c > 0 --> b + c > 0 --> E(b,c) > 0

Se b < 0 e c < 0 --> b + c < 0 --> E(b,c) < 0

Se b > 0 e c < 0 e b > |c| --> b + c > 0 --> E(b,c) > 0

Se b > 0 e c < 0 e b < |c| --> b + c < 0 --> E(b,c) < 0

Não existe uma quarta possibilidade: b < 0 e c > 0, pois, por hipotese, b > c


2ª) b < c

--> b - c < 0

....

Em síntese, poderemos ter E > 0 ou E < 0.

Se podemos ter E < 0 o menor mínimo será –∞.

Função 100TgC4AAAAASUVORK5CYII=Função ONfhCI+QAImytomvbmCG8zB0DYRCGKYnokTbQR0nNJuC80+nEgigEQNktQv1kaj8el51K0KxqPx705Td+cARBCQDQ4AEIIiAYHQAgB0eD4f7Fl2esvWyEfAAAAAElFTkSuQmCC


Última edição por rihan em Qua 13 Jun 2012, 12:44, editado 2 vez(es)

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Mensagem por dgohh Qua 13 Jun 2012, 08:36

Muito obrigado rihan mas eu receio que postei o enunciado errado.
O enunciado correto diz que a < b e f(x) > = 0 e não a=0 como eu havia postado. Creio que como eu coloquei <> isso foi considerado alguma forma de "quote" ou mudança de cor do texto e nao saiu no meu post. E a função correta é "(a+b+c)/(b-a)".
Minhas desculpas pelo post meio equivocado.
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Mensagem por rihan Qua 13 Jun 2012, 12:48

Não há porque se desculpar ! Very Happy !

Poste outra vez corretamente e exatamente a questão...

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Mensagem por dgohh Qua 13 Jun 2012, 23:01

Eis a questão correta:

"Considerando todas as funções quadráticas f:R-R definidas por f(x)=ax^2 + bx + c tais que a < b e f(x)=0 para todo x, determine o valor mínimo da expressão (a+b+c)/(b-a)"
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Mensagem por rihan Qui 14 Jun 2012, 12:46

@dgohh escreveu:Eis a questão correta:

"Considerando todas as funções quadráticas f:R-R definidas por f(x)=ax^2 + bx + c tais que a < b e f(x)=0 para todo x, determine o valor mínimo da expressão (a+b+c)/(b-a)"


Continua errada.

Pelo o que você colocou no outro "post", deve ser:

f(x) 0

Fique mais atento para que os que querem ajudá-lo, e você mesmo, percam menos tempo inutilmente.

Vamos lá.

Para f(x) ≥ 0 e a < b teremos que ter: a > 0 e Δ ≤ 0

Como:

a < b e a > 0 --> 0 < a < b --> b > 0

Como:

f(0) = c

f(x) ≥ 0 --> f(0) ≥ 0 --> c ≥ 0


Função YGFny77grzsAAAAASUVORK5CYII=



A função balizadora seria f(x) = x² , mas a=1 e b = 0 , que contraria a < b .

Então teríamos uma função assim:

f(x) = (x + δ)² + δ

Com δ tendendo a zero indefinidamente pela sua direita (por excesso):

lim [ δ --> +0)] ((x + δ)² + δ) = f*(x)

Observa-se também que o vértice (raíz, no caso de Δ = 0) é sempre negativo e que sempre será verdadeiro c > 0.

Vamos às hipóteses:

(i) Δ = 0 e 0 < a < b e c > 0

b² - 4ac = 0

b² = 4ac

b = ±2√(ac)

Como b > 0 -->

b = 2√(ac)

Duas raízes iguais ao vértice:

r = r' = -b/2a

0 < a < b --> b/2a > 0

--> -b/2a < 0

--> r = r' < 0

(i) Δ < 0 e 0 < a < b e c > 0

b² - 4ac < 0

b² < 4ac

a² < b² < 4ac

a < 4c

c > a/4

a/c < 4

c/a > 1/4

q c/a

q > 1/4

c = aq

p b/a

b > a

p > 1

b = ap

Temos agora a união das condições:

0 < a < b ≤ 2√(ac)

0 < a < ap ≤ 2√(a²q)

0 < a < ap ≤ 2a√(q)

Dividindo por "a":

0 < 1 < p ≤ 2√(q)

0 < 1 < p² ≤ 4q

4q ≥ p²

q ≥ p²/4

Temos a expressão:

E(a,b,c) = (a + b + c) / (b - a)

Sempre positiva, obviamente.

E(a, p, q) = (a + ap + aq) / (ap - a)

E(p, q) = (1 + p + q) / (p - 1)

Quanto menor o "q", menor será a expressão, então:

Como:

q ≥ p²/4

O menor valor para "q" será:

q = p²/4

E(p) = (1 + p + p²/4) / (p - 1)

Função KVPAAAAAElFTkSuQmCC

E' = [ (1 + p + p²/4)' (p - 1) - (1 + p + p²/4) (p - 1)' ] / (p - 1)²

E' = [ (p/2 + 1) ( p - 1) - (1 + p + p²/4) (1) ] / (p - 1)²

E' = [ p²/2 + p - p/2 - 1 - 1 - p - p²/4 ] / (p - 1)²

E' = [ p²/4 - p/2 - 2 ] / (p - 1)²

Mínimo ou Máximo para E' = 0:

[ p²/4 - p/2 - 2 ] / (p - 1)² = 0

p²/4 - p/2 - 2 = 0

p² - 2p - 8 = 0

p = -2 ou p = 4

Como p > 1

p = 4

Estudando se Máximo ou Mínimo:


1ª Maneira: Estudando o sinal de E'

E'(p) = [ p²/4 - p/2 - 2 ] / (p - 1)²

Como o denominador é sempre positivo, basta estudar o sinal do numerador:

N(p) = (p²/4 - p/2 - 2)

Para: -2 < p < 4 , N(p) < 0

Para: p < -2 ou p > 4 , N(p) > 0

Para: p = 4, N(p) = 0

Então N(p) varia assim:

p 1
4
E'(p) 0 +
A derivada E'(p) passa de negativa para positiva, logo temos um mínimo relativo no intervalo:

1 < p < +∞


2ª Maneira: Estudando o sinal de E''(4)

E'(p) = ( p²/4 - p/2 - 2 ) / (p - 1)²

E''(p) = [ (p²/4 - p/2 - 2)' (p - 1)² - (p²/4 - p/2 - 2) ((p - 1)²)'] / ( (p - 1)² )²

E''(p) = [ (p/2 - 1/2) (p - 1)² - (p²/4 - p/2 - 2)(2(p-1)) ] / ( (p - 1)² )²

E''(4) = [ (4/2 - 1/2) (4 - 1)² - (4²/4 - 4/2 - 2)(2(4-1)) ] / ( (4 - 1)² )²

E''(4) = [ (3/2) (3)² - (4 - 2 - 2)(2(3)) ] / ( (4 - 1)² )²

E''(4) = [ (3/2) (3)² ] / ( (4 - 1)² )² > 0

Se E"(4) positivo, para E'(4) = 0, então temos um mínimo.


Finalmente, o valor mínimo da expressão:

E(a,b,c) = (a + b + c) / (b - a)

E(p) = (1 + p + p²/4) / (p - 1)

E(4) = (1 + 4 + 4²/4) / (4 - 1)

E(4) = (5 + 4) / 3

E(4) = 9 / 3

E(4) = 3

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Mensagem por dgohh Qui 14 Jun 2012, 22:44

Exato, é essa mesma a resposta. Muito obrigado pela sua ajuda e me desculpe de novo pelo enunciado errado, as listas são manuscritas então a letra é um pouco dificil de se ler.
Muito obrigado!
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Mensagem por rihan Sex 15 Jun 2012, 05:37

⭐

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Mensagem por dgohh Ter 19 Jun 2012, 09:50

Só mais uma pergunta, não há como resolver sem o uso de limite e derivada? Essa questão está na lista de Equações Funcionais de Cauchy e Jensen, não há nenhum modo de resolvê-la usando funcionais?
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Mensagem por rihan Ter 19 Jun 2012, 17:33

Poste outra vez, corretamente...

Na coluna direita do post tem símbolos para "maior ou igual" e outros...

Copie e cole.

Especifique que a solução é com transformadas funcionais de Cauchy e Jensen.

É bom sairmos dessa página que está "bichada" com a sua tentativa de "> < < >", que criou uma tag aberta que não fecha e faz tudo ficar em bold...

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