Função exponencial

por **mauk03** Qua 23 maio 2012, 13:34

(Mackenzie-SP) Na igualdade $\dpi{120} 2^{x}+y^{2}=8$ , com $\dpi{120} x$ e $\dpi{120} y$ interios e positivos, se $\dpi{120} x$ assumir o menor valor possível, então $\dpi{120} \sqrt[y]{x}$ estará no intervalo:

a)[1, 2[
b)[2, 3[
c)[3, 4[
d)[4, 5[
e)[5, 6]

por **aryleudo** Qua 23 maio 2012, 16:34

$\\\\2^x + y^2 = 8 \hspace{15} \text{Aplicando} \hspace{5} log_{2} \hspace{5} \text{em ambos os lados} \\\\ log_{2}(2^x + y^2) = log_{2}8 \hspace{15} \text{Utilizando as propriedades temos} \\\\ x + 2log_2 y = 3 \\\\ log_2 y = \left (\frac{3 - x}{2} \right )\\\\ y = 2^\left (\frac{3 - x}{2} \right )$

O menor valor inteiro positivo que x pode assumir é x = 1. Assim temos:
$\\\\ y = 2^{\left (\frac{3 - 1}{2} \right )} \\\\ y = 2^{\left (\frac{2}{2} \right )} \\\\ y = 2^{1} = 2 \\\\$

Assim teremos:
$\\\\ \sqrt[y]{x} = \sqrt[2]{1} = \sqrt{1} = 1$

Note que o item A está fechado em 1 e aberto em 2.
Portanto, LETRA A.

por **mauk03** Qua 23 maio 2012, 18:27

aryleudo vlw, tb tinha encontrado essa resposta, porém sem uso de logaritmo

por **aryleudo** Qua 23 maio 2012, 18:41

De nada!

por **Elcioschin** Qua 23 maio 2012, 21:56

Infelizmente sou obrigado a discordar de uma propriedade

log(A + B) ≠ logA + logB

Logo ----> log2(2^x + y^2) ≠ log2(2^x) + log2(y²)

Uma solução simples:

Para x, y serem inteiros e positivos ----> x < 3

x = 1 ----> 2^1 + y² = 8 ----> y²= 6 -----> y = \/6 ---- não serve
x = 2 ----> 2^2 + y² = 8 -----> y² = 4 ----> y = 2

²\/2 ~= 1,41 -----> [1, 2[ ----> Alternativa A