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CEFET 2010 - Sistema linear

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CEFET 2010 - Sistema linear Empty CEFET 2010 - Sistema linear

Mensagem por Gabriela Carolina Qua 23 Maio 2012, 23:37

Sobre o sistema linear

x + y + 5z + 4t = 250
2x + 3y + 5z = 50
x + 10z + at = 600


é correto afirmar que
a) não possui solução se a = 12.
b) possui solução única se a = 12.
c) possui infinitas soluções se a = 12.
d) possui solução única para qualquer valor de a.
e) possui infinitas soluções para qualquer valor de a.

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CEFET 2010 - Sistema linear Empty Re: CEFET 2010 - Sistema linear

Mensagem por Al.Henrique Qui 24 Maio 2012, 00:13

Vamos analisar o sistema em questão atravéz dos determinantes :
Podemos escrever uma matriz completa com todos os coeficientes em questão, tanto de x , y , z ,t e os numeros "avulso"

Vamos organizar melhor o sistema para não errar, veja :

x+y+5z+4t = 250
2x+3y+5z+0t = 50
x+0y+10z+at = 600

Montando o determinante :

|1...1...5...4...250|
|2...3...5...0....50|
|1...0..10...a..600|

Vamos agora, escalonar o determinante acima , afim de deixar o "a" sozinho na equação.

Multiplicando por -2 a primeira linha e somando a segunda linha, como também, multimplicando por -1 a primeira e somando na terceira temos :


|1...1...5...4...250|
|0...1..-5..-8..-450|
|0..-1..5..a-4..350|

Somando agora , a segundo linha que obtivemos, com a terceira linha, vamos deixar "a" sozinho, veja :

|1...1...5...4.....250|
|0...1..-5..-8....-450|
|0..0...0..a-12..-100|


Perceba que se a = 12 Vamos ter um sistema com a seguinte linha :

0x+ 0y + 0z + (12-12)t = -100

Ou seja :

0+0+0+0 = -100

É Possivel isso ? é evidente que não!
Perceba que : se obtivessimos


0x+ 0y + 0z + 0t = 0

Mesmo com a=12 , pois zeraria o coeficiente de t, teriamos infinitas solução, pois tudo seria zero, para qualquer valor de x,y,z e t, teriamos solução.

Portanto, o sistema em questão é impossivel e não tem solução , para a = 12


Gabarito:

Letra (A) Não possui solução se a = 12



Grande beijo,
Bons estudos! :drunken:
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Mensagem por Elcioschin Qui 24 Maio 2012, 00:18

1 ....... 1 ......... 5 ....... 4 ........ 250
2 ....... 3 ......... 5 ........ 0 .......... 50 -----> L2 - 2*L1
1 ....... 0 ........ 10 ....... a ........ 600 ----> L3 - L1

1 ....... 1 ......... 5 ....... 4 ........ 250
0........ 1 ........ -5 ...... -8 ....... -450
0....... -1 ......... 5 ..... a-4 ....... 550 ----> L3 + L2

1 ....... 1 ......... 5 ....... 4 ........ 250
0........ 1 ........ -5 ...... -8 ....... -450
0........ 0 ......... 0 ..... a-12 ..... 100 -----> (a - 12)*t = 100 ----> t = 100/(a - 12)

Para a = 12 possui infinitas soluções
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Mensagem por Al.Henrique Qui 24 Maio 2012, 00:20

Mestre,

Se t = 100/(a - 12) e a = 12 , teriamos :

t = 100 / 12-12 = 100/ 0

O que implica na indeterminação de t , consequentemente, de todo o sistema.
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CEFET 2010 - Sistema linear Empty Re: CEFET 2010 - Sistema linear

Mensagem por Elcioschin Qui 24 Maio 2012, 10:21

Você tem razão Al.Henrique -----> Alternativa A
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