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Combinatória - (algarismos)

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Combinatória - (algarismos) Empty Combinatória - (algarismos)

Mensagem por Paulo Testoni Dom 26 Jul 2009, 14:48

Quantos números de 4 algarismos podemos formar nos quais o algarismo 2 aparece ao menos uma vez? R= 3168
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Combinatória - (algarismos) Empty Re: Combinatória - (algarismos)

Mensagem por Jeffson Souza Dom 26 Jul 2009, 19:16

Olá Paulo,
Números que temos.
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9--->10 números.

Com esses números podemos formar 9000 números de 4 algarismos,veja:
Como o número não pode começar por zero então temos as seguinte maneira.
9 no primeiro número (Excluindo o Zero)
10 no segundo
10 no terceiro
10 no quarto.
T=9*10*10*10=9000

O Enunciado fala que podemos ter o números pelo menos uma vez ,ou seja:
Duas vezes,três vezes e quatro vezes.

Para a nossa resolução ser mais fácil pensaremos no seguinte caso:
Quantos números de quatro algarismo podemos fazer como o nosso sistema de numeração (Excluindo o 2).
8 na primeira casa .(pois o Zero e nem o 2 não pode ocupar essa parte)
9 na segunda
9 na terceira
9 na quarta
T=5832
Quantos números de 4 algarismos podemos formar nos quais o algarismo 2 aparece ao menos uma vez?

9000-5832=3168
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Combinatória - (algarismos) Empty Re: Combinatória - (algarismos)

Mensagem por Diegomedbh Qua 20 Fev 2013, 16:26

Olá Paulo,

Bom ele quer formar um número de 4 algarismos. Perceba que:

De 1 a 9 temos 9 algarismos
De 0 a 9 temos 10 algarismos

Para a unidade de milhar temos 9 possibilidades (1 a 9) excluindo o zero, já que, ele quer um número de 4 algarismos.

9 . 10 . 10 . 10 = 9.000 (perceba que nessa contagem não necessariamente o numero 2 esta sendo usado)

Dentre os 9.000 números temos que visualizar que eles representam todas contagens que ele pode fazer. Então, que dizer, que dentre os 9000 números fizemos muitas contagens em que o número 2 aparecia, mas também fizemos contagens em que ele não aparecia. Logo a resposta evidentemente deve ser menor que 9.000.

Pois bem, como o numero 2 aparece pelo menos uma vez, o que nos dá a ideia de no mínimo (limite inferior). Então podemos ter essa quantidade ou mais, ou seja, podemos ter um único (2), dois (2), três (2) ou ainda no máximo quatro (2)!

Pense que se fixarmos o dois em todas as posições possíveis, o problema será extremamente trabalhoso, observe:

Fixando o algarismo 2 na unidade de milhar e restringindo que ele apareça uma única vez, temos aqueles números de 4 algarismo que começam com 2

2*__*__*__

1* 9 * 9 * 9

Porém, devemos deslocá-lo para as outras três posições possíveis. Porque podemos ter aqueles números que terminam com 2 e etc. Assim as possibilidades em que o numero 2 aparece uma única vez é:

2*__*__*__

1* 9 * 9 * 9 = 729 (2 fixado na unidade de milhar)
8* 1 * 9 * 9 = 648 (2 fixado na centena)
8* 9 * 1 * 9 = 648 (2 fixado na dezena)
8* 9 * 9 * 1 = 648 (2 fixado na unidade)

Perceba que somando esses resultados teremos o números em que o algarismo 2 aparece uma única vez!

Porém, ele não que apenas os números em que o algarismo 2 apareça uma única vez!
Daí, devemos fazer toda a contagem novamente agora para o caso em que o 2 aparece duas vezes, porém agora as coisas complicam, pois devemos pensar em todas as posições possíveis para eles.

E depois quando tivermos três (2)? Nossa! A prova acabou! 😢 Olha o tamanho do problema!

Por isso, devemos utilizar o princípio da exclusão (negar a condição) utilizado pelo nosso amigo Jefferson Souza!

No caso, negar a condição de não ter pelo menos um algarismo 2 é o mesmo que não ter "nenhum" algarismo 2.

Espero ter ajudado!
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