Potências Complexas
2 participantes
PiR2 :: Recursos extras :: Demonstrações
Página 1 de 1
Potências Complexas
Queridos amigos do fórum pir²,
Estou postando aqui uma dica para aqueles que desejam aprender um poquinho mais sobre os numeros complexos.
é muito conhecido, no ensino médio, os numeros complexos elevados a uma potência real.
Por exemplo :
Seja z = 2i , quanto vale z³ ?
Muito simples a resolução.. sabemos que z³=2³ .i³
Mas i³ = -i , Então segue que z³= -8i
Até mesmo numeros mais detalhados é facil calcular, quando temos, por exemplo,(1+√3.i)³ Sabemos tirar o módulo (|z|) do número, sabemos determinar seu argumento (θ) e sabemos que o numero complexo tem seu argumento multiplicado pelo expoente elevado. Podemos dizer então que qualquer complexo z pode ser escrito sob a forma z = |z|.cis(θ)
Então zⁿ=|z|ⁿ . cis(nθ)
Tudo isso é comumente visto no ensino médio. Entretanto, não é visto numeros compleos elevados a potências complexas!
Como calcular então, um numero complexo elevado a outro numero complexo ?

É mais simples do que parece galera,
Basta lembrar que das funções seno e cosseno hiperbolicas :
![\LARGE \dpi{120} cos(x) = [e^i^x + e^-^i^x]/2](http://latex.codecogs.com/gif.latex?\LARGE \dpi{120} cos(x) = [e^i^x + e^-^i^x]/2)
![\LARGE \dpi{120} isen(x) = [e^i^x - e^-^i^x]/2](http://latex.codecogs.com/gif.latex?\LARGE \dpi{120} isen(x) = [e^i^x - e^-^i^x]/2)
Somando as duas equações, temos que :

O que nos aponta que :

Podemos então , substituir o cis(θ) pela expressão acima. Portanto , todo numero complexo pode ser escrito sob a forma :

Sabendo disso , voltemos para a expressão do i elevado a i e olhemos para o resultado acima:
Temos que z = i .
É de facil percepcão que seu módulo vale 1 e seu argumento vale ∏/2
Portanto podemos escrever ele sob a forma :
z = 1.e^i(∏/2)
Mas temos que z está elevado a i , então :
e^(i∏/2)^i
Que nos dá :
e^(i²∏/2)
Finalmente :
i^i = e^(-∏/2) = 1/√[e^(∏)]
Estou postando aqui uma dica para aqueles que desejam aprender um poquinho mais sobre os numeros complexos.
é muito conhecido, no ensino médio, os numeros complexos elevados a uma potência real.
Por exemplo :
Seja z = 2i , quanto vale z³ ?
Muito simples a resolução.. sabemos que z³=2³ .i³
Mas i³ = -i , Então segue que z³= -8i
Até mesmo numeros mais detalhados é facil calcular, quando temos, por exemplo,(1+√3.i)³ Sabemos tirar o módulo (|z|) do número, sabemos determinar seu argumento (θ) e sabemos que o numero complexo tem seu argumento multiplicado pelo expoente elevado. Podemos dizer então que qualquer complexo z pode ser escrito sob a forma z = |z|.cis(θ)
Então zⁿ=|z|ⁿ . cis(nθ)
Tudo isso é comumente visto no ensino médio. Entretanto, não é visto numeros compleos elevados a potências complexas!
Como calcular então, um numero complexo elevado a outro numero complexo ?
É mais simples do que parece galera,
Basta lembrar que das funções seno e cosseno hiperbolicas :
Somando as duas equações, temos que :
O que nos aponta que :
Podemos então , substituir o cis(θ) pela expressão acima. Portanto , todo numero complexo pode ser escrito sob a forma :
Sabendo disso , voltemos para a expressão do i elevado a i e olhemos para o resultado acima:
Temos que z = i .
É de facil percepcão que seu módulo vale 1 e seu argumento vale ∏/2
Portanto podemos escrever ele sob a forma :
z = 1.e^i(∏/2)
Mas temos que z está elevado a i , então :
e^(i∏/2)^i
Que nos dá :
e^(i²∏/2)
Finalmente :
i^i = e^(-∏/2) = 1/√[e^(∏)]
Última edição por Al.Henrique em Dom 06 Maio 2012, 14:29, editado 2 vez(es) (Motivo da edição : Erros , sinais sumindo, Latex não ajudando também..)
Re: Potências Complexas
Quase criei um novo tópico para demonstrar essa relação
, por sorte ela já tinha. Deixarei a clássica para título de conhecimento:
Teorema de Taylor: Seja f uma função derivável num ponto x pertencente ao seu domínio, então f pode ser aproximada como um polinômio de grau infinito sob as vizinhanças de x.
Os coeficientes de Taylor dependem das derivadas de f no ponto x:
\\\\-\sin&space;x=a_{1}+2.a_{2}.x+3.a_{3}x^{2}+4.a_{4}.x^{3}+...\\x=0\,\,\Rightarrow&space;a_{1}=0\\\\\frac{d}{dx}(-\sin&space;x)=\frac{d}{dx}(a_{1}+2.a_{2}.x+3.a_{3}.x^{2}+4.a_{4}.x^{3}+...)\\-\cos&space;x&space;=2.a_{2}+6.a_{3}.x+12.a_{4}.x^{2}+...\\x=0\,\,\Rightarrow&space;\,a_{2}=\frac{-1}{2})
Se prosseguirmos assim indefinidamente, vemos que a função cosseno é idêntica ao polinômio:

'=\left&space;(b_{0}+b_{1}.x+b_{2}.x^{2}+b_{3}.x^{3}+b_{4}.x^{4}+...&space;\right&space;)'\\\cos&space;x=b_{1}+2.b_{2}.x+...\\x=0\,\,\Rightarrow&space;\,b_{1}=1\\\)
Da mesma forma, prosseguindo indefinidamente para a função seno:

Função e^x:
\\\\e^{x}=c_{1}+2.c_{2}.x+3.c_{3}.x^{2}+...\\x=0\,\,\Rightarrow&space;\,c_{1}=1)
Analogamente:

Com uma álgebra simples:

Temos novamente uma identidade de funções:

Fazendo x = θ um argumento de um complexo qualquer e multiplicando ambos os membros da igualdade pelo módulo de um complexo qualquer, temos que todo número complexo admite a representação exponencial:

Algumas consequências:
1) As próprias funções seno e cosseno hiperbólicas utilizadas pelo colega Henrique.
2) As poderosíssimas Relações de Euler:
=e^{i\theta&space;}+e^{-i.\theta&space;}\\\\2.\cos\theta&space;=e^{i\theta&space;}+e^{-i.\theta&space;}\\\therefore&space;\\\\\boxed{cos\theta&space;=\frac{e^{i\theta&space;}+e^{-i.\theta&space;}}{2}}\\\\cis\theta-cis(-\theta&space;)=e^{i\theta&space;}-e^{-i.\theta&space;}\\\therefore&space;\\\\\boxed{\sin\theta&space;=\frac{e^{i\theta&space;}-e^{-i.\theta&space;}}{2.i}})
3) Outra bem simpática:

A forma exponencial de Euler é bem útil para provar relações nos complexos. Provando a 1º fórmula de De Moivre em 1 linha:
&space;})
C.Q.D

Teorema de Taylor: Seja f uma função derivável num ponto x pertencente ao seu domínio, então f pode ser aproximada como um polinômio de grau infinito sob as vizinhanças de x.
Os coeficientes de Taylor dependem das derivadas de f no ponto x:
Se prosseguirmos assim indefinidamente, vemos que a função cosseno é idêntica ao polinômio:
Da mesma forma, prosseguindo indefinidamente para a função seno:
Função e^x:
Analogamente:
Com uma álgebra simples:
Temos novamente uma identidade de funções:
Fazendo x = θ um argumento de um complexo qualquer e multiplicando ambos os membros da igualdade pelo módulo de um complexo qualquer, temos que todo número complexo admite a representação exponencial:
Algumas consequências:
1) As próprias funções seno e cosseno hiperbólicas utilizadas pelo colega Henrique.
2) As poderosíssimas Relações de Euler:
3) Outra bem simpática:
A forma exponencial de Euler é bem útil para provar relações nos complexos. Provando a 1º fórmula de De Moivre em 1 linha:
C.Q.D
Willian Honorio- Matador
- Mensagens : 1271
Data de inscrição : 27/04/2016
Idade : 26
Localização : São Paulo
PiR2 :: Recursos extras :: Demonstrações
Página 1 de 1
Permissões neste sub-fórum
Não podes responder a tópicos
|
|