Altura do tronco de cone

Relembrando a primeira mensagem :

Considere um cone circular reto de altura igual a 15 cm e raio da base 5 cm. A partir desse
cone deseja-se construir um copo com a forma de um tronco de cone com volume igual a 98∏ cm³ .
Dado que o volume do tronco de cone é V = h∏ (R² + r² + rR)/3, podemos afirmar que a altura
desse copo, em cm, é:

a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6

então, eu resolvi essa questão usando a relação r/R = H-h/H. eu acho q aquela relação q vc falou se aplica só nos 2 cones, no cone maior e no cone menor q sobra qnd vc faz um corte..

A ideia do Rodrigo -- (h/H)³ = v/V -- é boa mas, como concluiu o Kemisson, só se aplica aos dois cones, o maior e o menor restante. Isso porque essa ideia aplica o seguinte princípio:
"a relação entre os volumes de dois sólidos semelhantes é igual à relação entre os cubos de seus lados homólogos".
Ora, semelhante a um cone somente outro cone, se tiverem o mesmo ângulo de vértice, e nunca um tronco de cone.
Resolvendo por esse caminho, e chamando de h a altura do cone menor, fazemos:

volume do cone maior: V = (1/3)pi*5²*15 ----> V = 125pi cm³ ............(como aliás, anteriormente, me corrigiu o Rodrigo)
volume do cone menor: v = 125pi - 98pi ------> v = 27pi cm³

(h/15)³ = 27/125 -----(15³ = 3³*5³)-----> h³ = (3³/5³)*3³*5³ -----> h³ = 3³*3³ -----> h = 3*3 -----> h = 9 cm

donde a altura do tronco de cone será o que sobrou: h_tc = 15 - 9 -----> h_tc = 6 cm.

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Porém o problema exige que se use a fórmula dada: V_tc = (1/3)pi(R²+r²+Rr)*h.



queremos h
e também desconhecemos r

obtendo r em função de h

como os triângulos são semelhantes, podemos escrever: .

donde: .

agora, jogando os dados na fórmula, temos:



o coeficiente de h³ é 1 e o termo independente é 98*27. Então podemos procurar uma raiz entre os divisores de 98*27.
Esse trabalho fica facilitado porque h é um segmento (só servem raízes positivas) e h<15 (bastam-nos poucas tentativas: 1, 2, 3, 6, 7, 9, 14).
98*27 = 2*49*27 = 2.3³.7²
98*27 = 2646

experimentando:
p/ h=1 ----> tá na cara que não é.
p/ h=2 ----> f(h) = 8 - 45*4 + 675*2 - 2646 = 8 - 180 + 1350 - 2646 ≠ 0
p/ h=3 ----> f(h) = 27 - 45*9 + 675*3 - 2646 = 27 - 405 + 2025 - 2646 ≠ 0
p/ h=6 ----> f(h) = 36*6 - 45*36 + 675*6 - 2646 = 216 - 1620 + 4050 - 2646 = 0 .............. achamos.
não precisamos procurar mais porque é impossível haver dois valores distintos de h para o mesmo volume.

portanto, h = 6 cm.

Se, depois disso, quisermos tirar alguma dúvida, basta calcular: r = 5 - h/3 ----> r = 3 cm
e substituir da fórmula para o volume do tronco de cone. Deveremos encontrar V = 98pi cm³.

Abraços.