[Limites] ...Utilizando a regra de L'Hospital

por Livia002 Seg 30 Abr 2012, 10:19

Olá, pessoal!
Alguém poderia ajudar a calcular o limite abaixo??

$lim_x\rightarrow{\infty}\left(e^x/x^p \right)$

Tentei aplicar L´Hôspital, mas não consegui concluir nada....

Obrigada!!

por **Al.Henrique** Qui 19 Jul 2012, 16:05

Falou-se alguma coisa sobre p ?

$[Limites] ...Utilizando a regra de L'Hospital X%5Ep%20%5Cright%29$

Me parece que a solução é complexa :

http://www.wolframalpha.com/input/?i=lim+e^x%2Fx^p+as+x-%3Einfinity

por **Iago6** Qui 19 Jul 2012, 20:01

por **Al.Henrique** Qui 19 Jul 2012, 20:14

Iago6 escreveu: $[Limites] ...Utilizando a regra de L'Hospital Gif.latex?%5Clarge%20%5Clim_%7Bx%20%5Cto%20%5Cinfty%7D%20%5C;%20%5Cfrac%7B%20e%5E%7Bx%7D%20%7D%7Bx%5Ep%7D%20=%5Clim_%7Bx%20%5Cto%20%5Cinfty%7D%20%5C;%20%5Cfrac%7B%20%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdx%7D%28e%5E%7Bx%7D%29%20%7D%7B%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdx%7D%28x%5Ep%29%7D=%20%5C%5C%5C%5C%5C%20=%20%5Clim_%7Bx%20%5Cto%20%5Cinfty%7D%20%5C;%5C;%20%5Cfrac%7B%20e%5E%7Bx%7D%20%7D%7B%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdx%7D%5Cleft%20%28px%5E%7B%20%28p-1%29%7D%20%5Cright%20%29%7D%20%5C%5C%5C%5C%5C%20=%20%5Clim_%7Bx%20%5Cto%20%5Cinfty%7D%20%5C;%5C;%20%5Cfrac%7B%20e%5E%7Bx%7D%20%7D%7Bp%28p-1%29x%5E%7B%20%28p-2%29%7D%7D=..$

Iago,

Fundamental sua solução, Parabéns! :face:

O que não não consegui solucionar era sumir com esse x do denominador. A cada derivada, surge um novo termo no denominador que vai caracterizar o fatorial.

Para complementar a solução do nosso amigo:

Devemos derivar o limite P vezes. Mas porque ? Porque derivando P vezes, que é o expoente de x, conseguimos surmir com o x do denominador definitivamente.

Veja :
Primeira derivada :

e༝/p.x^(p-1)

Segunda derivada:

e༝/p.(p-1).x^(p-2)

p-ésima derivada:

e༝/p.(p-1).(p-2).(p-3)...x^(p-p)

Como (p-p) = 0 temos x^0 , que dá 1. Assim conseguiremos efetivar o fatorial :

e༝/p.(p-1).(p-2).(p-3)...1 = e༝/p!

por **Iago6** Qui 19 Jul 2012, 21:18

Al.Henrique escreveu: Iago,

Fundamental sua solução, Parabéns! :face:

O que não não consegui solucionar era sumir com esse x do denominador. A cada derivada, surge um novo termo no denominador que vai caracterizar o fatorial.

Para complementar a solução do nosso amigo:

Devemos derivar o limite P vezes. Mas porque ? Porque derivando P vezes, que é o expoente de x, conseguimos surmir com o x do denominador definitivamente.

Veja :
Primeira derivada :

e༝/p.x^(p-1)

Segunda derivada:

e༝/p.(p-1).x^(p-2)

p-ésima derivada:

e༝/p.(p-1).(p-2).(p-3)...x^(p-p)

Como (p-p) = 0 temos x^0 , que dá 1. Assim conseguiremos efetivar o fatorial :

e༝/p.(p-1).(p-2).(p-3)...1 = e༝/p!

Exatamente, excelente explicação, a primeira vista fica dificil de associar a fatorial ao denominar, devido a notação "p" creio eu que se o problema tivesse ''n'' no lugar do ''p'', seria mais imediata essa associação. n! = n(n – 1)(n – 2)(n – 3) =...= Porém a indeterminação da questão não é o a potência "p", pois a potência é uma constante, é justamente a variável "x". Eu não pensei da forma que você expôs, foi baseada em outra, observe que as derivadas sucessivas de x^4 é: 4x^3, 12x^2 e 24x , 24, em geral a enésima derivada de x^n é justamente a constante n!. Ou seja se a variável x^4 temos n=4 e , 4!=24.

Very Happy

por **Iago6** Qui 19 Jul 2012, 21:36

Pra ficar mais claro:

$[Limites] ...Utilizando a regra de L'Hospital Gif.latex?%5Ctextup%7BA%20id%C3%A9ia%20da%20regra%20L%27h%C3%B4pital%20%C3%A9%20essa.%20Fazer%20derivadas%20sucessivas%7D%5C%5C%20%5Ctextup%7B%20at%C3%A9%20que%20a%20intermina%C3%A7%C3%A3o%20desapare%C3%A7a,%20nesse%20caso,%20podemos%20notar%7D%20%5C%5C%20%5Ctextup%7B%20claramente%20que%20o%20denominador%20deixa%20a%20indetermina%C3%A7%C3%A3o%20a%20partir%7D%5C%5C%20%5Ctextup%7Bdo%20momento%20que%20a%20vari%C3%A1vel%20se%20torna%20constante%7D.%5C%5C%5C%5C%20f%28x%29=x%5En%20%5C%5C%5C%5C%20%5Ctextup%7BPara%20n=3%7D%20%5C%5C%5C%5C%20f%28x%29%20=x%5E3%20%5Ctextup%7B%20%28Derivando%20sucessivamente%29%7D%5C%5C%20f%5E%7B3%7D=%206%20%5Crightarrow%20n%21=3%21=6%20%5Ctextup%7B%20%28constante%29%7D$