Questão engenhosa !!!
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Questão engenhosa !!!
por helanderson123 Qui 05 Abr 2012, 12:54
Se sena + senb + senc = 0 e cosa + cosb + cosc = 0
prove que cos(a-b) + cos(b-c) + cos(c-a) = -3/2
prove que cos(a-b) + cos(b-c) + cos(c-a) = -3/2
helanderson123- Iniciante
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Re: Questão engenhosa !!!
por Elcioschin Qui 05 Abr 2012, 14:55
sena + senb + senc = 0 ---> sena + senb = -senc ----> (sena + senb)² = (-senc)² ---->
sen²a + sen²b + 2sena*senb = sen²c ---> (1 - cos²a) + (1 - cos²b) + 2sena*senb = 1 - cos²c --->
cos²a + cos²b - cos²c = 2sena*senb + 1 ----> I
cosa + cosb + cosc = 0 ----> cosa + cosb = -cosc ----> (cosa + cosb)² = (-cosc)² ---->
cos²a + cos²b + 2cosa*cosb = cos²c ----> cos²a + cos²b - cos²c = - 2cosa*cosb ----> II
I = II ----> 2sena*senb + 1 = - 2cosa*cosb ----> cosa*cosb - sena*senb = - 1/2 ----> cos(a - b) = - 1/2
De modo similar ---> cos(b - c) = - 1/2 e cos(c - a) = - 1/2
cos(a - b) + cos(b - c) + cos(c - a) = -1/2 -1/2 -1/2 = - 3/2
sen²a + sen²b + 2sena*senb = sen²c ---> (1 - cos²a) + (1 - cos²b) + 2sena*senb = 1 - cos²c --->
cos²a + cos²b - cos²c = 2sena*senb + 1 ----> I
cosa + cosb + cosc = 0 ----> cosa + cosb = -cosc ----> (cosa + cosb)² = (-cosc)² ---->
cos²a + cos²b + 2cosa*cosb = cos²c ----> cos²a + cos²b - cos²c = - 2cosa*cosb ----> II
I = II ----> 2sena*senb + 1 = - 2cosa*cosb ----> cosa*cosb - sena*senb = - 1/2 ----> cos(a - b) = - 1/2
De modo similar ---> cos(b - c) = - 1/2 e cos(c - a) = - 1/2
cos(a - b) + cos(b - c) + cos(c - a) = -1/2 -1/2 -1/2 = - 3/2
Elcioschin- Grande Mestre
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