(IME - 1971) Geometria Espacial

Uma esfera de raio é tangente às faces de um dos triedros de um cubo de aresta . Um vértice do cubo pertence à superfície esférica. Calcule o raio da intersecção da esfera com o plano de uma das faces do cubo que cortam a esfera, em função apenas da aresta do cubo.

(A) .
(B) .
(C) .
(D) .
(E) .
(F) .

Exercício bom para desenvolver a "visão" espacial. Quando eu tiver feito um desenho decente, posto aqui a solução.

a resposta é: r = (V2 - 1)a ------ alternativa B.

Chegou ao fim minha síndrome de Macunaíma (ai que preguiça!) e graças ao “puxão de orelhas” apropriadamente recebido do Aldrin já faz algum tempo, fiz, afinal, um desenho para expor a solução.

Conforme mostram as figuras, o problema admite duas soluções: uma quando a aresta do cubo é maior do que R (raio da esfera); e a outra quando essa aresta é menor do que R. Para discriminar os dois casos, adoto o nome de aresta e para o segundo e mantenho a aresta a para o primeiro.

A fig.1 mostra os dois possíveis cubos. Cubo verde para o primeiro caso, onde o vértice A está em contato com a esfera. Cubo vermelho para o segundo caso, onde E é o vértice em contato.

Nas figs. 2 e 3 tentei mostrar os três círculos formados em cada caso, respectivamente. São três os planos das faces de cada cubo que geram círculos devido à intersecção com a esfera.

Na verdade, o problema é de solução algébrica simples e a única figura realmente necessária é a fig.4. Esta figura é uma projeção da esfera no plano xOy e mostra em linhas verdes e vermelhas a projeção, nesse plano, de dois dos três círculos relativos a cada cubo. Estão omitidos os círculos nos planos z=a e z=e.





Única resposta prevista : alternativa B
.

Valeu, Medeiros, pelo empenho.

Excelente resolução.

Você demonstrou ser um ótimo desenhista também, hehe

Abraço.

Lamento. Solução está errada.

@martinsra escreveu:Lamento. Solução está errada.

Também lamento. Qual é o certo?

Upa a imagem aí pfv

@Tiago Medeiros Silva escreveu:Upa a imagem aí pfv

oi "parente". Isso faz já 11 anos! Devido a essa antiguidade e falta de consulta o 'host' excluiu a imagem, e eu também não a tenho. Aliás, nem os dados da questão consigo ver direito, me aparecem caixinhas coloridas no local.

Mas pelo que entendi não é muito complicado. Considere um triedro tri-normal 0xyz e encoste uma esfera no primeiro octante. A partir daí desenhe um cubo cujo vértice que "está flutuando solto no meio do octante" pertença à esfera.