(IME - 1971) Geometria Espacial
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(IME - 1971) Geometria Espacial
Uma esfera de raio
é tangente às faces de um dos triedros de um cubo de aresta
. Um vértice do cubo pertence à superfície esférica. Calcule o raio
da intersecção da esfera com o plano de uma das faces do cubo que cortam a esfera, em função apenas da aresta
do cubo.
(A)
.
(B)
.
(C)
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(D)
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(E)
.
(F)
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(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

(F)

ALDRIN- Membro de Honra
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Re: (IME - 1971) Geometria Espacial
Exercício bom para desenvolver a "visão" espacial. Quando eu tiver feito um desenho decente, posto aqui a solução.
a resposta é: r = (V2 - 1)a ------ alternativa B.
a resposta é: r = (V2 - 1)a ------ alternativa B.
Medeiros- Grupo
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Dia de pagar as dívidas
Chegou ao fim minha síndrome de Macunaíma (ai que preguiça!) e graças ao “puxão de orelhas” apropriadamente recebido do Aldrin já faz algum tempo, fiz, afinal, um desenho para expor a solução.
Conforme mostram as figuras, o problema admite duas soluções: uma quando a aresta do cubo é maior do que R (raio da esfera); e a outra quando essa aresta é menor do que R. Para discriminar os dois casos, adoto o nome de aresta e para o segundo e mantenho a aresta a para o primeiro.
A fig.1 mostra os dois possíveis cubos. Cubo verde para o primeiro caso, onde o vértice A está em contato com a esfera. Cubo vermelho para o segundo caso, onde E é o vértice em contato.
Nas figs. 2 e 3 tentei mostrar os três círculos formados em cada caso, respectivamente. São três os planos das faces de cada cubo que geram círculos devido à intersecção com a esfera.
Na verdade, o problema é de solução algébrica simples e a única figura realmente necessária é a fig.4. Esta figura é uma projeção da esfera no plano xOy e mostra em linhas verdes e vermelhas a projeção, nesse plano, de dois dos três círculos relativos a cada cubo. Estão omitidos os círculos nos planos z=a e z=e.


Única resposta prevista : alternativa B
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Conforme mostram as figuras, o problema admite duas soluções: uma quando a aresta do cubo é maior do que R (raio da esfera); e a outra quando essa aresta é menor do que R. Para discriminar os dois casos, adoto o nome de aresta e para o segundo e mantenho a aresta a para o primeiro.
A fig.1 mostra os dois possíveis cubos. Cubo verde para o primeiro caso, onde o vértice A está em contato com a esfera. Cubo vermelho para o segundo caso, onde E é o vértice em contato.
Nas figs. 2 e 3 tentei mostrar os três círculos formados em cada caso, respectivamente. São três os planos das faces de cada cubo que geram círculos devido à intersecção com a esfera.
Na verdade, o problema é de solução algébrica simples e a única figura realmente necessária é a fig.4. Esta figura é uma projeção da esfera no plano xOy e mostra em linhas verdes e vermelhas a projeção, nesse plano, de dois dos três círculos relativos a cada cubo. Estão omitidos os círculos nos planos z=a e z=e.


Única resposta prevista : alternativa B
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Medeiros- Grupo
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Re: (IME - 1971) Geometria Espacial
Valeu, Medeiros, pelo empenho.
Excelente resolução.
Você demonstrou ser um ótimo desenhista também, hehe

Abraço.
Excelente resolução.
Você demonstrou ser um ótimo desenhista também, hehe


Abraço.
ALDRIN- Membro de Honra
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Data de inscrição : 29/07/2009
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Re: (IME - 1971) Geometria Espacial
Lamento. Solução está errada.
martinsra- iniciante
- Mensagens : 1
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Re: (IME - 1971) Geometria Espacial
@martinsra escreveu:Lamento. Solução está errada.
Também lamento. Qual é o certo?
Medeiros- Grupo
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Re: (IME - 1971) Geometria Espacial
Upa a imagem aí pfv
Tiago Medeiros Silva- iniciante
- Mensagens : 23
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Idade : 20
Localização : São paulo
Re: (IME - 1971) Geometria Espacial
@Tiago Medeiros Silva escreveu:Upa a imagem aí pfv
oi "parente". Isso faz já 11 anos! Devido a essa antiguidade e falta de consulta o 'host' excluiu a imagem, e eu também não a tenho. Aliás, nem os dados da questão consigo ver direito, me aparecem caixinhas coloridas no local.
Mas pelo que entendi não é muito complicado. Considere um triedro tri-normal 0xyz e encoste uma esfera no primeiro octante. A partir daí desenhe um cubo cujo vértice que "está flutuando solto no meio do octante" pertença à esfera.
Medeiros- Grupo
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