Mostre por indução (Álgebra Abstrata)
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Mostre por indução (Álgebra Abstrata)
por Márcio Valente Sex 23 Mar 2012, 07:42
1ª) Mostre por indução
que 1² + 2² +...+ n² =
para todo inteiro n≥1.
que 1² + 2² +...+ n² =
para todo inteiro n≥1.
Márcio Valente- Recebeu o sabre de luz
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Re: Mostre por indução (Álgebra Abstrata)
por Werill Sex 23 Mar 2012, 13:46
Temos que a relação é verdadeira para n = 1:
1² = 1(1 + 1)(2.1 + 1)/6
1 = 1
Admitamos, então, que também é verdadeira para k, e provemos que também é para (k + 1):
Adicionando (k + 1)², obtemos:
^2 = {\color{Blue} \frac{k(k + 1)(kn + 1)}{6} } + (k + 1)^2 "{\color{Blue} 1^2 + 2^2 + ... + k^2} + (k + 1)^2 = {\color{Blue} \frac{k(k + 1)(2k + 1)}{6} } + (k + 1)^2")
E queremos que o resultado seja equivalente a
[(k + 1) + 1][2(k + 1) + 1]}{6} \;\;\ \Leftrightarrow \;\;\ \frac{(k + 1)(k + 2)(2k + 3)}{6} "\frac{(k + 1)[(k + 1) + 1][2(k + 1) + 1]}{6} \;\;\ \Leftrightarrow \;\;\ \frac{(k + 1)(k + 2)(2k + 3)}{6}")
De fato,
(2k + 1)}{6} + (k + 1)^2 = \frac{(k + 1)(k + 2)(2k + 3)}{6}\\\\\\ \frac{k(k + 1)(2k + 1) + 6(k + 1)^2}{6} = \frac{(k + 1)(k + 2)(2k + 3)}{6}\\\\\\ \frac{(k + 1)\cdot [k(2k + 1) + 6(k + 1)]}{6} = \frac{(k + 1)(k + 2)(2k + 3)}{6}\\\\\\ \frac{(k + 1)\cdot (2k^2 + 7k + 6)}{6} = \frac{(k + 1)(k + 2)(2k + 3)}{6}\\\\\\ \frac{(k + 1)\cdot (k + 2)(2k + 3)}{6} = \frac{(k + 1)(k + 2)(2k + 3)}{6}\\\\\\ "\\ \frac{k(k + 1)(2k + 1)}{6} + (k + 1)^2 = \frac{(k + 1)(k + 2)(2k + 3)}{6}\\\\\\ \frac{k(k + 1)(2k + 1) + 6(k + 1)^2}{6} = \frac{(k + 1)(k + 2)(2k + 3)}{6}\\\\\\ \frac{(k + 1)\cdot [k(2k + 1) + 6(k + 1)]}{6} = \frac{(k + 1)(k + 2)(2k + 3)}{6}\\\\\\ \frac{(k + 1)\cdot (2k^2 + 7k + 6)}{6} = \frac{(k + 1)(k + 2)(2k + 3)}{6}\\\\\\ \frac{(k + 1)\cdot (k + 2)(2k + 3)}{6} = \frac{(k + 1)(k + 2)(2k + 3)}{6}\\\\\\")
1² = 1(1 + 1)(2.1 + 1)/6
1 = 1
Admitamos, então, que também é verdadeira para k, e provemos que também é para (k + 1):
Adicionando (k + 1)², obtemos:
E queremos que o resultado seja equivalente a
De fato,
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