Questao de Algebra

Prove que f(n) = 3^n - n² é um numero positivo para todo n² pertencente aos N.
(Dicas: prove a afirmação para n = 1 e para n = 2, entao observe que para n > 2 temos
n² > 2n e n² > 1)

É "para todo n² pertencente aos N" mesmo, ou "todo n pertencente aos N"? Note que (-1)² = 1, um número natural, mas f(-1) não é um número positivo. Se for o caso, acredito que seja fácil provar por indução.

Gavrilo escreveu:É "para todo n² pertencente aos N" mesmo, ou "todo n pertencente aos N"? Note que (-1)² = 1, um número natural, mas f(-1) não é um número positivo. Se for o caso, acredito que seja fácil provar por indução.

eu digitei errado mestre! o certo é "todo n pertencente aos N"

abraços

Opa, desculpa pela demora, acabei me esquecendo. Como disse, a prova é por indução:

Como f(n) = 3^n - n², mostrar que f(n) é positivo equivale a mostrar que 3^n - n² > 0, ou seja, 3^n > n². O caso base, n = 1, é verídico, pois 3^1 > 1². Também é verídico para n = 2. Agora suponha que seja verídico para um natural k, tal que k > 2. Para n = k + 1:

3^(k + 1) > (k + 1)²
3 * 3^k > k² + 2k + 1 (1)

O "truque" vem agora, consistindo em desmembrar a inequação (1) em um sistema de inequações:

3^k > k² (2)
3^k > 2k + 1 (3)
3^k > 0 (4)

Que é equivalente à inequação original, bastando somar todas para chegar a ela. Daí vemos que:

- A inequação (2) é verdadeira, pois assumimos que 3^k > k².
- A inequação (3) é verdadeira, pois se k > 2, então k² > 2k e o valor mínimo de k² é 2k + 1. Como 3^k > k, então 3^k > 2k + 1.
- A inequação (4) é verdadeira, pois 3^k é sempre positivo.

Portanto, se (2), (3) e (4) são verdadeiras, segue que (1) é verdadeira. Assim, completamos a indução.