Quadrado perfeito
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Quadrado perfeito
O número de alunos prestando vestibular para o ITA era, emum dado ano, um quadrado perfeito. No ano seguinte, comum acréscimo de 100 participantes, o número de alunospassou a ser um quadrado perfeito mais 1. Um ano depois,com mais um acréscimo de 100 participantes, o númerode alunos passa a ser novamente um quadrado perfeito. Aquantidade inicial de alunos é um múltiplo de:
A) 3
B) 7
C) 9
D) 11
E) 17
A) 3
B) 7
C) 9
D) 11
E) 17
Re: Quadrado perfeito
luiseduardo escreveu:O número de alunos prestando vestibular para o ITA era, emum dado ano, um quadrado perfeito. No ano seguinte, comum acréscimo de 100 participantes, o número de alunospassou a ser um quadrado perfeito mais 1. Um ano depois,com mais um acréscimo de 100 participantes, o númerode alunos passa a ser novamente um quadrado perfeito. Aquantidade inicial de alunos é um múltiplo de:
A) 3
B) 7
C) 9
D) 11
E) 17
Boa noite!
x = quantidade de alunos prestando vestibular
x² + 100 = y² + 1 .............. (i)
y² + 101 = z² .................... (ii)
===============================
y² - x² = 100 - 1 = 99
z² - y² = 100 + 1 = 101
---------------------------
z² - x² = 200
===============================
(y+x)(y-x) = 99 ................ (iii)
(z+y)(z-y) = 101 ............... (iv)
(z+x)(z-x) = 200 ............... (v)
===============================
Em (iv), o número 101 é primo; seus divisores são apenas 1 e 101.
Como x,y,z são inteiros, (z y) e (z-y) são obviamente inteiros.
Assim, esses dois fatores, que multiplicados igualam 101, só poderão ser 1 e 101, a saber:
z + y = 101
z - y = 1
-------------
2z = 102
z = 102/2
z = 51
======================================
Substituindo, em (ii), "z" por 51, vem:
y²+101 = z²
y²+101 = (51)²
y² = 2601 - 101 = 2500
y = √2500
y = 50
======================================
Substituindo, também em (v), "z" por 51, fica:
(z+x)(z-x) = 200
(51+x)(51-x) = 200
51² - x² = 200
x² = 2601 - 200
x² = 2401
x = √2401
x = 49
======================================
Assim, a quantidade de alunos é 49, o qual é múltiplo de 7.
Alternativa (B).
Um abraço.
Última edição por ivomilton em Dom 05 Fev 2012, 12:24, editado 1 vez(es)
ivomilton- Membro de Honra
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Idade : 91
Localização : São Paulo - Capital
Re: Quadrado perfeito
Olá Ivomilton,
a fonte da qual você fez a cópia do sinal estava formatada para ser pequena e preta. Você pode usar (com o recurso copiar-colar) os símbolos abaixo:
C ~ ≈ ≠ ≡ ≠ ∀ ∃ ⇒ ⇔ → ƒ ↔ ∈ ∋
ℝ ℕ ℕ* ℚ ℤ ℤ* ℤ+ ℤ-
Ø ¢ | | ٧ ٨ ∧ ∨ ⊂ ⊃
∆ ∇ ∩ Ո ∪ ○ f◦g − × ± ∓ ÷ ⊕ • · ⊙ ⊗ ◈
丄 ⊥ 丅 ㅜ √ ∛ ∜ ∑ ∏ ⊥ ⊿ → ↑ ↓ ↕ ←
Շ ≮ ⌒ ≯ ≤ ≥ ∝ π ℮ אօ ∞ Å
■ | ∣ ∣ 4‾ ┴ ║ ij \ # № ∟ ∠ ℓ ♯ fˉ¹
● ‰ ² ³ ¹ º ª ⁿ ⁴ ⁿˉ ༝ ⁿˉ¹ ∫ a ∝ ₁ ₂ ₃ ₄ ı ո ց ь հ զ ս օ ג
½ ¼ ¾ ½ ⅓ ⅔ ⅛ ⅜ ⅝ ⅞ $ £ ™ ₁օօ ∴ ∵ ∷
㋵ α β γ δ λ μ Ω ο ρ φ χ ψ ξ ε η θ ∂
Copie-os para um arquivo do bloco de notas do windows e quando quiser usá-los copie de lá e cole na caixa de postagem do fórum.
a fonte da qual você fez a cópia do sinal estava formatada para ser pequena e preta. Você pode usar (com o recurso copiar-colar) os símbolos abaixo:
C ~ ≈ ≠ ≡ ≠ ∀ ∃ ⇒ ⇔ → ƒ ↔ ∈ ∋
ℝ ℕ ℕ* ℚ ℤ ℤ* ℤ+ ℤ-
Ø ¢ | | ٧ ٨ ∧ ∨ ⊂ ⊃
∆ ∇ ∩ Ո ∪ ○ f◦g − × ± ∓ ÷ ⊕ • · ⊙ ⊗ ◈
丄 ⊥ 丅 ㅜ √ ∛ ∜ ∑ ∏ ⊥ ⊿ → ↑ ↓ ↕ ←
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■ | ∣ ∣ 4‾ ┴ ║ ij \ # № ∟ ∠ ℓ ♯ fˉ¹
● ‰ ² ³ ¹ º ª ⁿ ⁴ ⁿˉ ༝ ⁿˉ¹ ∫ a ∝ ₁ ₂ ₃ ₄ ı ո ց ь հ զ ս օ ג
½ ¼ ¾ ½ ⅓ ⅔ ⅛ ⅜ ⅝ ⅞ $ £ ™ ₁օօ ∴ ∵ ∷
㋵ α β γ δ λ μ Ω ο ρ φ χ ψ ξ ε η θ ∂
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____________________________________________
In memoriam - Euclides faleceu na madrugada do dia 3 de Abril de 2018.
Lembre-se de que os vestibulares têm provas de Português também! Habitue-se a escrever corretamente em qualquer circunstância!
O Universo das coisas que eu não sei é incomensuravelmente maior do que o pacotinho de coisas que eu penso que sei.
Euclides- Fundador
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Data de inscrição : 07/07/2009
Idade : 74
Localização : São Paulo - SP
Re: Quadrado perfeito
Euclides escreveu:Olá Ivomilton,
a fonte da qual você fez a cópia do sinal estava formatada para ser pequena e preta. Você pode usar (com o recurso copiar-colar) os símbolos abaixo:
C ~ ≈ ≠ ≡ ≠ ∀ ∃ ⇒ ⇔ → ƒ ↔ ∈ ∋
ℝ ℕ ℕ* ℚ ℤ ℤ* ℤ+ ℤ-
Ø ¢ | | ٧ ٨ ∧ ∨ ⊂ ⊃
∆ ∇ ∩ Ո ∪ ○ f◦g − × ± ∓ ÷ ⊕ • · ⊙ ⊗ ◈
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● ‰ ² ³ ¹ º ª ⁿ ⁴ ⁿˉ ༝ ⁿˉ¹ ∫ a ∝ ₁ ₂ ₃ ₄ ı ո ց ь հ զ ս օ ג
½ ¼ ¾ ½ ⅓ ⅔ ⅛ ⅜ ⅝ ⅞ $ £ ™ ₁օօ ∴ ∵ ∷
㋵ α β γ δ λ μ Ω ο ρ φ χ ψ ξ ε η θ ∂
Copie-os para um arquivo do bloco de notas do windows e quando quiser usá-los copie de lá e cole na caixa de postagem do fórum.
Boa noite, caro Euclides!
Eu estava extraindo o simbolo √ do Word (ou do Mapa de Caracteres) do Windows...
Obrigado por enviar toda a série: será de grande ajuda daqui pra frente.
Tenha um final de semana abençoado pelo Senhor Jesus!
ivomilton- Membro de Honra
- Mensagens : 4994
Data de inscrição : 08/07/2009
Idade : 91
Localização : São Paulo - Capital
Re: Quadrado perfeito
ivomilton escreveu:
Em (iv), o número 101 é primo; seus divisores são apenas 1 e 101.
Como x,y,z são inteiros, (z y) e (z-y) são obviamente inteiros.
Assim, esses dois fatores, que multiplicados igualam 101, só poderão ser 1 e 101, a saber:
z + y = 101
z - y = 1
-------------
Confesso que até antes disso eu faria o exercício, mas essa parte eu acho que é o "tchan" da resolução. Acho que se eu estivesse numa prova, não faria. Obrigado ivomilton, abriu minha cabeça.
Convidado- Convidado
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