PiR2
Gostaria de reagir a esta mensagem? Crie uma conta em poucos cliques ou inicie sessão para continuar.

Quadrado perfeito

3 participantes

Ir para baixo

Quadrado perfeito Empty Quadrado perfeito

Mensagem por luiseduardo Sáb 04 Fev 2012, 21:00

O número de alunos prestando vestibular para o ITA era, emum dado ano, um quadrado perfeito. No ano seguinte, comum acréscimo de 100 participantes, o número de alunospassou a ser um quadrado perfeito mais 1. Um ano depois,com mais um acréscimo de 100 participantes, o númerode alunos passa a ser novamente um quadrado perfeito. Aquantidade inicial de alunos é um múltiplo de:

A) 3
B) 7
C) 9
D) 11
E) 17
luiseduardo
luiseduardo
Membro de Honra
 Membro de Honra

Mensagens : 2530
Data de inscrição : 08/07/2009
Idade : 29
Localização : Fortaleza-CE

https://www.lcm.com.br/site/#/livros/detalhesLivro/simetria-de-c

Ir para o topo Ir para baixo

Quadrado perfeito Empty Re: Quadrado perfeito

Mensagem por ivomilton Sáb 04 Fev 2012, 22:00

luiseduardo escreveu:O número de alunos prestando vestibular para o ITA era, emum dado ano, um quadrado perfeito. No ano seguinte, comum acréscimo de 100 participantes, o número de alunospassou a ser um quadrado perfeito mais 1. Um ano depois,com mais um acréscimo de 100 participantes, o númerode alunos passa a ser novamente um quadrado perfeito. Aquantidade inicial de alunos é um múltiplo de:

A) 3
B) 7
C) 9
D) 11
E) 17



Boa noite!

x = quantidade de alunos prestando vestibular

x² + 100 = y² + 1 .............. (i)

y² + 101 = z² .................... (ii)

===============================

y² - x² = 100 - 1 = 99

z² - y² = 100 + 1 = 101

---------------------------

z² - x² = 200

===============================

(y+x)(y-x) = 99 ................ (iii)

(z+y)(z-y) = 101 ............... (iv)

(z+x)(z-x) = 200 ............... (v)

===============================

Em (iv), o número 101 é primo; seus divisores são apenas 1 e 101.

Como x,y,z são inteiros, (z y) e (z-y) são obviamente inteiros.

Assim, esses dois fatores, que multiplicados igualam 101, só poderão ser 1 e 101, a saber:

z + y = 101

z - y = 1

-------------

2z = 102

z = 102/2

z = 51

======================================

Substituindo, em (ii), "z" por 51, vem:

y²+101 = z²

y²+101 = (51)²

y² = 2601 - 101 = 2500

y = √2500

y = 50

======================================

Substituindo, também em (v), "z" por 51, fica:

(z+x)(z-x) = 200

(51+x)(51-x) = 200

51² - x² = 200

x² = 2601 - 200

x² = 2401

x = √2401

x = 49

======================================

Assim, a quantidade de alunos é 49, o qual é múltiplo de 7.

Alternativa (B).











Um abraço.


Última edição por ivomilton em Dom 05 Fev 2012, 12:24, editado 1 vez(es)
ivomilton
ivomilton
Membro de Honra
 Membro de Honra

Mensagens : 4994
Data de inscrição : 08/07/2009
Idade : 91
Localização : São Paulo - Capital

Ir para o topo Ir para baixo

Quadrado perfeito Empty Re: Quadrado perfeito

Mensagem por Euclides Sáb 04 Fev 2012, 22:36

Olá Ivomilton,

a fonte da qual você fez a cópia do sinal estava formatada para ser pequena e preta. Você pode usar (com o recurso copiar-colar) os símbolos abaixo:

C ~ ≈ ≠ ≡ ≠ ∀ ∃ ⇒ ⇔ → ƒ ↔ ∈ ∋
ℝ ℕ ℕ* ℚ ℤ ℤ* ℤ+ ℤ-
Ø ¢ | | ٧ ٨ ∧ ∨ ⊂ ⊃
∆ ∇ ∩ Ո ∪ ○ f◦g − × ± ∓­ ÷ ⊕ • · ⊙ ⊗ ◈
丄 ⊥ 丅 ㅜ √ ∛ ∜ ∑ ∏ ⊥ ⊿ → ↑ ↓ ↕ ←
Շ ≮ ⌒ ≯ ≤ ≥ ∝ π ℮ אօ ∞ Å
■ | ∣ ∣ 4‾ ┴ ║ ij \ # № ∟ ∠ ℓ ♯ fˉ¹
● ‰ ² ³ ¹ º ª ⁿ ⁴ ⁿˉ ༝ ⁿˉ¹ ∫ a ∝ ₁ ₂ ₃ ₄ ı ո ց ь հ զ ս օ ג
½ ¼ ¾ ½ ⅓ ⅔ ⅛ ⅜ ⅝ ⅞ $ £ ™ ₁օօ ∴ ∵ ∷
㋵ α β γ δ λ μ Ω ο ρ φ χ ψ ξ ε η θ ∂

Copie-os para um arquivo do bloco de notas do windows e quando quiser usá-los copie de lá e cole na caixa de postagem do fórum.

____________________________________________
In memoriam - Euclides faleceu na madrugada do dia 3 de Abril de 2018.
assinatura 1
Lembre-se de que os vestibulares têm provas de Português também! Habitue-se a escrever corretamente em qualquer circunstância!

O Universo das coisas que eu não sei é incomensuravelmente maior do que o pacotinho de coisas que eu penso que sei.
Euclides
Euclides
Fundador
 Fundador

Mensagens : 32508
Data de inscrição : 07/07/2009
Idade : 74
Localização : São Paulo - SP

Ir para o topo Ir para baixo

Quadrado perfeito Empty Re: Quadrado perfeito

Mensagem por ivomilton Sáb 04 Fev 2012, 22:47

Euclides escreveu:Olá Ivomilton,

a fonte da qual você fez a cópia do sinal estava formatada para ser pequena e preta. Você pode usar (com o recurso copiar-colar) os símbolos abaixo:

C ~ ≈ ≠ ≡ ≠ ∀ ∃ ⇒ ⇔ → ƒ ↔ ∈ ∋
ℝ ℕ ℕ* ℚ ℤ ℤ* ℤ+ ℤ-
Ø ¢ | | ٧ ٨ ∧ ∨ ⊂ ⊃
∆ ∇ ∩ Ո ∪ ○ f◦g − × ± ∓­ ÷ ⊕ • · ⊙ ⊗ ◈
丄 ⊥ 丅 ㅜ √ ∛ ∜ ∑ ∏ ⊥ ⊿ → ↑ ↓ ↕ ←
Շ ≮ ⌒ ≯ ≤ ≥ ∝ π ℮ אօ ∞ Å
■ | ∣ ∣ 4‾ ┴ ║ ij \ # № ∟ ∠ ℓ ♯ fˉ¹
● ‰ ² ³ ¹ º ª ⁿ ⁴ ⁿˉ ༝ ⁿˉ¹ ∫ a ∝ ₁ ₂ ₃ ₄ ı ո ց ь հ զ ս օ ג
½ ¼ ¾ ½ ⅓ ⅔ ⅛ ⅜ ⅝ ⅞ $ £ ™ ₁օօ ∴ ∵ ∷
㋵ α β γ δ λ μ Ω ο ρ φ χ ψ ξ ε η θ ∂

Copie-os para um arquivo do bloco de notas do windows e quando quiser usá-los copie de lá e cole na caixa de postagem do fórum.

Boa noite, caro Euclides!

Eu estava extraindo o simbolo √ do Word (ou do Mapa de Caracteres) do Windows...

Obrigado por enviar toda a série: será de grande ajuda daqui pra frente.







Tenha um final de semana abençoado pelo Senhor Jesus!
ivomilton
ivomilton
Membro de Honra
 Membro de Honra

Mensagens : 4994
Data de inscrição : 08/07/2009
Idade : 91
Localização : São Paulo - Capital

Ir para o topo Ir para baixo

Quadrado perfeito Empty Re: Quadrado perfeito

Mensagem por Convidado Dom 05 Fev 2012, 12:53

ivomilton escreveu:


Em (iv), o número 101 é primo; seus divisores são apenas 1 e 101.

Como x,y,z são inteiros, (z y) e (z-y) são obviamente inteiros.

Assim, esses dois fatores, que multiplicados igualam 101, só poderão ser 1 e 101, a saber:

z + y = 101

z - y = 1

-------------

Confesso que até antes disso eu faria o exercício, mas essa parte eu acho que é o "tchan" da resolução. Acho que se eu estivesse numa prova, não faria. Obrigado ivomilton, abriu minha cabeça.

Convidado
Convidado


Ir para o topo Ir para baixo

Quadrado perfeito Empty Re: Quadrado perfeito

Mensagem por Conteúdo patrocinado


Conteúdo patrocinado


Ir para o topo Ir para baixo

Ir para o topo

- Tópicos semelhantes

 
Permissões neste sub-fórum
Não podes responder a tópicos