ITA 2007 gravitaçao duvida
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ITA 2007 gravitaçao duvida
Lançado verticalmente da Terra com velocidade inicial v0, um parafuso de massa m chega com velocidade nula na
órbita de um satélite artificial, geoestacionário em relação à Terra, que se situa na mesma vertical.
Desprezando a resistência do ar, determine a velocidade v0 em função da aceleração da gravidade g na superfície
da Terra, raio da Terra R e altura h do satélite.
EMsuperficie = EMsatelite
mvo^2/2 -GMm/d = - GmM/d'
mvo^2/2 -gMm/r = -gmM/(h+r)
como GM = gr^2
vo = V(2rgh/h+r)
minha duvida é pq a energia potencial eh dada por -gmM/d
como eu provo isso ?
órbita de um satélite artificial, geoestacionário em relação à Terra, que se situa na mesma vertical.
Desprezando a resistência do ar, determine a velocidade v0 em função da aceleração da gravidade g na superfície
da Terra, raio da Terra R e altura h do satélite.
EMsuperficie = EMsatelite
mvo^2/2 -GMm/d = - GmM/d'
mvo^2/2 -gMm/r = -gmM/(h+r)
como GM = gr^2
vo = V(2rgh/h+r)
minha duvida é pq a energia potencial eh dada por -gmM/d
como eu provo isso ?
christian- Mestre Jedi
- Mensagens : 865
Data de inscrição : 13/06/2011
Idade : 30
Localização : Rio de Janeiro - Brasil
Re: ITA 2007 gravitaçao duvida
Energia e energia potencial são conceitos úteis, são "constructos" engenhosos das cabeças pensantes.
Quando medimos, geralmente medimos variações de energia, ΔE.
Ao fazermos isso, podemos "convencionar", "arbitrar", "escolher", onde A energia potencial será nula, e todas as outras medidas se referenciarão a nossa posição escolhida.
Quando estamos na Terra, é costume "escolhermos" o nível do mar como "altura" zero e Energia Potencial também zero.
Já no espaço, o ponto de energia potencial nulo é um ponto "no infinito" (olhe pra "fórmula" que você entenderá...).
Nessa questão, a energia potencial do parafuso ou do satélite era maior na terra do que na órbita, logo eles diminuiram sua energia potencial, e a variação de energia potencial, ΔEp, é negativa.
ΔEm = 0
Em = Ec + Ep
ΔEm = ΔEc + ΔEp
ΔEc = - ΔEp
m.Vo²/2 - 0 = -(G.m.M/(r+h) - G.m.M/r)
m.Vo²/2 = G.m.M/r - G.m.M/(r+h)
Vo² = 2G.M(1/r - 1/(r+h))
Vo² = 2G.M((r+h) - r)/(r.(r+h))
Vo² = 2G.M.h/(r.(r+h))
Como g ≈ G.M/r²
G.M ≈ r².g
Vo² ≈ 2 r².g.h/(r.(r+h))
Vo² ≈ 2 r.g.h/(r+h)
Saudações referenciais !
Quando medimos, geralmente medimos variações de energia, ΔE.
Ao fazermos isso, podemos "convencionar", "arbitrar", "escolher", onde A energia potencial será nula, e todas as outras medidas se referenciarão a nossa posição escolhida.
Quando estamos na Terra, é costume "escolhermos" o nível do mar como "altura" zero e Energia Potencial também zero.
Já no espaço, o ponto de energia potencial nulo é um ponto "no infinito" (olhe pra "fórmula" que você entenderá...).
Nessa questão, a energia potencial do parafuso ou do satélite era maior na terra do que na órbita, logo eles diminuiram sua energia potencial, e a variação de energia potencial, ΔEp, é negativa.
ΔEm = 0
Em = Ec + Ep
ΔEm = ΔEc + ΔEp
ΔEc = - ΔEp
m.Vo²/2 - 0 = -(G.m.M/(r+h) - G.m.M/r)
m.Vo²/2 = G.m.M/r - G.m.M/(r+h)
Vo² = 2G.M(1/r - 1/(r+h))
Vo² = 2G.M((r+h) - r)/(r.(r+h))
Vo² = 2G.M.h/(r.(r+h))
Como g ≈ G.M/r²
G.M ≈ r².g
Vo² ≈ 2 r².g.h/(r.(r+h))
Vo² ≈ 2 r.g.h/(r+h)
Saudações referenciais !
rihan- Estrela Dourada
- Mensagens : 5049
Data de inscrição : 22/08/2011
Idade : 69
Localização : Rio de Janeiro, RJ, Itabuna-Ilhéus, BA, Brasil
Re: ITA 2007 gravitaçao duvida
excelente rihan ! , essa de a energia mecanica no espaço só ser nula no infinito eu n sabia
christian- Mestre Jedi
- Mensagens : 865
Data de inscrição : 13/06/2011
Idade : 30
Localização : Rio de Janeiro - Brasil
Re: ITA 2007 gravitaçao duvida
só mais uma duvida
como eu provo que ep = GmM/d ?
como eu provo que ep = GmM/d ?
christian- Mestre Jedi
- Mensagens : 865
Data de inscrição : 13/06/2011
Idade : 30
Localização : Rio de Janeiro - Brasil
Re: ITA 2007 gravitaçao duvida
Opa !
A Energia POTENCIAL gravitacional ou elétrica é que é nula quando o corpo (carga) está a uma distância "infinita" de qualquer outro corpo (carga)! :bounce:
Podemos chegar assim:
Pela Lei da Gravitação Universal e da Conservação de Energia.
Seja dois pontos materiais com massas m e m' distando r entre si, eles estão sujeitos somente a uma força atrativa:
Para o corpo de massa m ou m', vetorialmente:
F = -G.m.m'.u/r²
Onde u é um vetor unitário na direção da reta que une os dois pontos, que, a depender do referencial, está apontando para um corpo ou outro. Por isso o "menos" (-), indicando que a força é sempre contrária a esse vetor.
Escalarmente indicamos também assim:
F = -G.m.m'/r²
Vamos agora afastar os dois corpos a uma distância "infinita" com o uso de uma força conservativa qualquer, maior que gravitacional, e supor que estão sujeitos somente a interação gravitacional e à dita força.
Olhando para a relação entre F e r, quando r tende ao infinito F tende a zero.
Sabemos que o trabalho da força resultante é dado sempre por:
Wr = ΔEc
E, para forças conservativas ( gravitacional é uma delas)
Wr = -ΔEp
Como o trabalho da resultante é no mesmo sentido do deslocamento, é positivo.
Logo a variação de Energia Potencial será sempre negativa, isto é, quanto mais longe estiverem os dois corpos, menor serão suas energias potenciais.
Por isso dizemos que "no infinito" a energia potencial de um corpo é nula, pois as forças gravitacionais de todos os outros corpos é "nula", já que r é "infinito".
Para chegarmos a expressão da energia potencial precisamos de conceitos de derivadas, gradientes e integrais.
A uma dimensão só:
F = -dEp/dr = -G.m.m'/r²
dEp = G.m.m'.dr /r²
Integrando-se de ∞ até r:
∫dEp = ∫G.m.m'.dr /r²
ΔEp = G.m.m'.∫dr /r²
Epr - Ep∞ = G.m.m'.[-1/r -(-1/∞)]
Epr - Ep∞ == G.m.m'.[-1/r + 0]
Epr - Ep∞ = = -G.m.m'/r
Considerando-se a Ep no ∞ como 0
Epr - Ep∞ = Epr
Epr = -G.m.m'/r
A Energia POTENCIAL gravitacional ou elétrica é que é nula quando o corpo (carga) está a uma distância "infinita" de qualquer outro corpo (carga)! :bounce:
Podemos chegar assim:
Pela Lei da Gravitação Universal e da Conservação de Energia.
Seja dois pontos materiais com massas m e m' distando r entre si, eles estão sujeitos somente a uma força atrativa:
Para o corpo de massa m ou m', vetorialmente:
F = -G.m.m'.u/r²
Onde u é um vetor unitário na direção da reta que une os dois pontos, que, a depender do referencial, está apontando para um corpo ou outro. Por isso o "menos" (-), indicando que a força é sempre contrária a esse vetor.
Escalarmente indicamos também assim:
F = -G.m.m'/r²
Vamos agora afastar os dois corpos a uma distância "infinita" com o uso de uma força conservativa qualquer, maior que gravitacional, e supor que estão sujeitos somente a interação gravitacional e à dita força.
Olhando para a relação entre F e r, quando r tende ao infinito F tende a zero.
Sabemos que o trabalho da força resultante é dado sempre por:
Wr = ΔEc
E, para forças conservativas ( gravitacional é uma delas)
Wr = -ΔEp
Como o trabalho da resultante é no mesmo sentido do deslocamento, é positivo.
Logo a variação de Energia Potencial será sempre negativa, isto é, quanto mais longe estiverem os dois corpos, menor serão suas energias potenciais.
Por isso dizemos que "no infinito" a energia potencial de um corpo é nula, pois as forças gravitacionais de todos os outros corpos é "nula", já que r é "infinito".
Para chegarmos a expressão da energia potencial precisamos de conceitos de derivadas, gradientes e integrais.
A uma dimensão só:
F = -dEp/dr = -G.m.m'/r²
dEp = G.m.m'.dr /r²
Integrando-se de ∞ até r:
∫dEp = ∫G.m.m'.dr /r²
ΔEp = G.m.m'.∫dr /r²
Epr - Ep∞ = G.m.m'.[-1/r -(-1/∞)]
Epr - Ep∞ == G.m.m'.[-1/r + 0]
Epr - Ep∞ = = -G.m.m'/r
Considerando-se a Ep no ∞ como 0
Epr - Ep∞ = Epr
Epr = -G.m.m'/r
rihan- Estrela Dourada
- Mensagens : 5049
Data de inscrição : 22/08/2011
Idade : 69
Localização : Rio de Janeiro, RJ, Itabuna-Ilhéus, BA, Brasil
Re: ITA 2007 gravitaçao duvida
obrigado mais uma vez rihan
christian- Mestre Jedi
- Mensagens : 865
Data de inscrição : 13/06/2011
Idade : 30
Localização : Rio de Janeiro - Brasil
Re: ITA 2007 gravitaçao duvida
Estamos Aqui !
E Vamos Lá !
E Vamos Lá !
rihan- Estrela Dourada
- Mensagens : 5049
Data de inscrição : 22/08/2011
Idade : 69
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