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ITA 2007 gravitaçao duvida

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Mensagem por christian Sex 20 Jan 2012, 12:59

Lançado verticalmente da Terra com velocidade inicial v0, um parafuso de massa m chega com velocidade nula na
órbita de um satélite artificial, geoestacionário em relação à Terra, que se situa na mesma vertical.
Desprezando a resistência do ar, determine a velocidade v0 em função da aceleração da gravidade g na superfície
da Terra, raio da Terra R e altura h do satélite.



EMsuperficie = EMsatelite

mvo^2/2 -GMm/d = - GmM/d'

mvo^2/2 -gMm/r = -gmM/(h+r)

como GM = gr^2

vo = V(2rgh/h+r)

minha duvida é pq a energia potencial eh dada por -gmM/d
como eu provo isso ?


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Mensagem por rihan Sex 20 Jan 2012, 13:43

Energia e energia potencial são conceitos úteis, são "constructos" engenhosos das cabeças pensantes.

Quando medimos, geralmente medimos variações de energia, ΔE.

Ao fazermos isso, podemos "convencionar", "arbitrar", "escolher", onde A energia potencial será nula, e todas as outras medidas se referenciarão a nossa posição escolhida.

Quando estamos na Terra, é costume "escolhermos" o nível do mar como "altura" zero e Energia Potencial também zero.

Já no espaço, o ponto de energia potencial nulo é um ponto "no infinito" (olhe pra "fórmula" que você entenderá...).

Nessa questão, a energia potencial do parafuso ou do satélite era maior na terra do que na órbita, logo eles diminuiram sua energia potencial, e a variação de energia potencial, ΔEp, é negativa.

ΔEm = 0

Em = Ec + Ep

ΔEm = ΔEc + ΔEp

ΔEc = - ΔEp

m.Vo²/2 - 0 = -(G.m.M/(r+h) - G.m.M/r)

m.Vo²/2 = G.m.M/r - G.m.M/(r+h)

Vo² = 2G.M(1/r - 1/(r+h))

Vo² = 2G.M((r+h) - r)/(r.(r+h))

Vo² = 2G.M.h/(r.(r+h))

Como g ≈ G.M/r²

G.M ≈ r².g

Vo² ≈ 2 r².g.h/(r.(r+h))

Vo² ≈ 2 r.g.h/(r+h)

Saudações referenciais !

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Mensagem por christian Sex 20 Jan 2012, 13:47

excelente rihan ! cheers , essa de a energia mecanica no espaço só ser nula no infinito eu n sabia
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Mensagem por christian Sex 20 Jan 2012, 13:49

só mais uma duvida


como eu provo que ep = GmM/d ?
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Mensagem por rihan Sex 20 Jan 2012, 15:13

Opa !

A Energia POTENCIAL gravitacional ou elétrica é que é nula quando o corpo (carga) está a uma distância "infinita" de qualquer outro corpo (carga)!
:bounce:

Podemos chegar assim:

Pela Lei da Gravitação Universal e da Conservação de Energia.

Seja dois pontos materiais com massas m e m' distando r entre si, eles estão sujeitos somente a uma força atrativa:

Para o corpo de massa m ou m', vetorialmente:

F = -G.m.m'.u/

Onde u é um vetor unitário na direção da reta que une os dois pontos, que, a depender do referencial, está apontando para um corpo ou outro. Por isso o "menos" (-), indicando que a força é sempre contrária a esse vetor.

Escalarmente indicamos também assim:

F = -G.m.m'/r²

Vamos agora afastar os dois corpos a uma distância "infinita" com o uso de uma força conservativa qualquer, maior que gravitacional, e supor que estão sujeitos somente a interação gravitacional e à dita força.

Olhando para a relação entre F e r, quando r tende ao infinito F tende a zero.

Sabemos que o trabalho da força resultante é dado sempre por:

Wr = ΔEc

E, para forças conservativas ( gravitacional é uma delas)

Wr = -ΔEp

Como o trabalho da resultante é no mesmo sentido do deslocamento, é positivo.

Logo a variação de Energia Potencial será sempre negativa, isto é, quanto mais longe estiverem os dois corpos, menor serão suas energias potenciais.

Por isso dizemos que "no infinito" a energia potencial de um corpo é nula, pois as forças gravitacionais de todos os outros corpos é "nula", já que r é "infinito".

Para chegarmos a expressão da energia potencial precisamos de conceitos de derivadas, gradientes e integrais.

A uma dimensão só:

F = -dEp/dr = -G.m.m'/r²

dEp = G.m.m'.dr /r²

Integrando-se de ∞ até r:

∫dEp = ∫G.m.m'.dr /r²

ΔEp = G.m.m'.∫dr /r²

Epr - Ep = G.m.m'.[-1/r -(-1/∞)]

Epr - Ep == G.m.m'.[-1/r + 0]

Epr - Ep = = -G.m.m'/r

Considerando-se a Ep no ∞ como 0

Epr - Ep = Epr

Epr = -G.m.m'/r

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Mensagem por christian Sex 20 Jan 2012, 16:01

obrigado mais uma vez rihan
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Mensagem por rihan Sex 20 Jan 2012, 16:02

Estamos Aqui !

E Vamos Lá ! Very Happy

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