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Geometria espacial (esfera-cone)

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Geometria espacial (esfera-cone) Empty Geometria espacial (esfera-cone)

Mensagem por morenaduvida Qui 01 Out 2009, 11:56

Admita esfera com raio igual a 2m cujo centro "O" dista 4 m de um determinado ponto P
Tomando-se P como vértice, construímos um cone tangente a essa esfera, como mostra a
figura.

Geometria espacial (esfera-cone) Uerj2002

Calcule em relação ao cone:

a) seu volume: (gabarito 3 pi m³)

b) sua área lateral : (gabarito 6 pi m²)

morenaduvida
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Geometria espacial (esfera-cone) Empty Re: Geometria espacial (esfera-cone)

Mensagem por Euclides Qui 01 Out 2009, 13:27

Geometria espacial (esfera-cone) Trokgiff
através do triângulo retângulo OPQ (em amarelo) podemos calcular PQ(=PR)

PQ²=OP²-OQ²
PQ²=4²-2²
PQ²=12 --> PQ=PR=2√3 m

Os triângulos OPQ e SPR são semelhantes e então:
Geometria espacial (esfera-cone) Trokgif
calculamos a altura do cone no triângulo SPR (em azul), por Pitágoras novamente,

SP²=PR²-SR²
SP²=12-3
SP=3m

a) Volume do Cone

V=(1/3).(pir²).h
V=(1/3).(pi.3).3²
V=9pi m³

b) Área Lateral

Geometria espacial (esfera-cone) Trokgif
O comprimento da circunferência da área da base é o comprimento do arco do cone aberto:

L=2pir --> L=2pi(SR) --> L=2√3pi

esse arco agora, no cone aberto, é parte de uma circunferência de raio PR cujo comprimento é

C=2pi(PR) --> C=4√3pi e cuja área é A=pi(PR)² --> A=12pi

como L=C/2 --> Alateral=A/2 ---> Alateral=6pi

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