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Gravitação universal

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Mensagem por georgito Qui Dez 29 2011, 04:14

Olá pessoal, gostaria de saber a resolução deste exercício (se for possível) por meio das técnicas de derivação, limite, integrais...

Dois corpos esféricos de massa M e 5M e raios R e 2R, respectivamente, são liberados no espaço livre. Considerando que a única força interveniente seja a da atração gravitacional mútua, e que seja de 12R a distância de separação inicial entre os centros dos corpos, então, o espaço percorrido pelo corpo menos até a colisão é de:
a)1,5R b)2,5R c)4,5R d)7,5R e)10R


Muito obrigado

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Mensagem por Elcioschin Qui Dez 29 2011, 14:47

ESte problema envolve conhecimentos de cálculo diferencial/integral do Ensino Superior.



O motivo é que a força de atração é variável: à medida que a distância diminui, a força aumenta.
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Mensagem por georgito Qui Dez 29 2011, 15:44

Obrigado

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Mensagem por Victor M Qui Dez 29 2011, 17:12

Vou usar apenas conceitos básicos de calculo:

Calculando a força de atração:

F= G*M*5M/(d)²
Calculando a aceleração de cada corpo(a'' para o corpo de massa M e a' para o corpo de massa 5M)
a' = F/5M = GM/d²
a'' = F/M = 5GM/d², a'' = 5a'

a = dv/dt, logo:
v'= ∫a'*dt
v'' = ∫a''dt = ∫5*a'*dt= 5v'

Analogamente s'' = 5s', logo a esfera de menor massa irá percorrer uma distância 5 vezes maior que a esfera de maior massa:
s'' = 5s'
s''+s' = 9R (distância entre as superficeis ou deslocamento total)
s' = 1,5R
s'' = 7,5 R

O corpo de menor massa irá percorrer uma distância de 7,5 R.
Alternativa D.
Obs: O mais importante nessa questão é notar que sempre a aceleração de um dos corpos é 5 vezes maior que a aceleração do segundo corpo, daí poderemos concluir que o espaço percorrido pelo corpo de menor massa sempre será 5 vezes maior(tente notar essa simetria da distância percorrida e da aceleração), o uso de calculo só serve para formalizar esse raciocínio, e como sabemos a distância total que vai ser percorrida(distâncias entre os centro menos os raios) poderemos utilizar esse raciocínio para calcular a distância percorrida por cada corpo.

Espero ter ajudado


Última edição por Victor M em Qui Dez 29 2011, 17:24, editado 2 vez(es) (Motivo da edição : Adição da observação)

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Mensagem por georgito Qui Dez 29 2011, 18:58

Valeu, ajudou bastante

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Mensagem por rihan Sex Dez 30 2011, 14:25

Muito bem mandado Victor M ! Very Happy cheers !

Penso ser importante ressaltar que é também um caso típico de "Conservação da Quantidade de Movimento", já que temos componentes do sistema somente sob a ação de suas interações.

Em "bold" são vetores,

p : quantidade de movimento do maior

p' : quantidade de movimento do menor

P : quantidade de movimento do sistema

ΔP = 0

ΔP = Δp + Δp' = 0

Δp = - Δp' ("3ª Lei de Newton"...)

v = -m'Δv'

5MΔv = -MΔv'

v = -Δv'

O que me diz que: sempre as variações de velocidade do menor serão o quíntuplo do maior e com a mesma direção, mas sentidos opostos.

Se partiram do repouso, temos, em módulo:

v' = 5v

A qualquer instante.

Logo, a velocidade média para ambos também manterá a mesma relação:

v : velocidade média do maior

v' : velocidade média do menor

v' = 5v

O espaço percorrido por cada um coincidirá com o módulo dos deslocamentos e, no mesmo intervalo de tempo Δt, será:

v = d/Δt

v'= d'/Δt

Dividindo uma pela outra:

d'/d = v'/v

d'/d = 5v/v

d' = 5d

Como:

d + d' = 9R

Temos:

d + 5d = 9R

6d = 9R

d = 1,5 R

d' = 7,5 R

Saudações conservacionistas !

E Vamos Lá ! cheers !

rihan
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