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Quadrados cruzados por uma diagonal

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Quadrados cruzados por uma diagonal Empty Quadrados cruzados por uma diagonal

Mensagem por gabriel93 Qua 14 Dez 2011, 11:03

Quantos quadrados são cruzados por uma diagonal em uma tabela retangular formada por 199 x 991 quadrados pequenos?
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Quadrados cruzados por uma diagonal Empty Re: Quadrados cruzados por uma diagonal

Mensagem por gabriel93 Qua 14 Dez 2011, 11:35

Tem uma solução que é a seguinte:

- Risque a diagonal que vai do canto superior à esquerda ao canto inferior à direita.
- Colorir de preto os quadrados que são cruzados pela diagonal.
- Marcar letra "L" nos quadrados pretos mais à esquerda em cada linha e letra "C" nos quadrados pretos mais em cima em cada coluna.
- cada quadrado preto foi marcado exatamente uma vez, com exceção do quadrado superior à esquerda, que foi marcado 2 vezes.
- Assim, o número de quadrados pretos é a soma do número de colunas e linhas subtraindo 1. Resposta : 991 + 199 - 1 = 1189.

Agora tenho uma dúvida na afirmação de que cada quadrado preto foi marcado pelo menos uma vez com exceção de um. Segue a seguinte prova:

- Se pelo menos um quadrado preto não for marcado nenhuma vez, então seus vizinhos à esquerda e em cima fazem interseção com a diagonal, o que é impossível

- Se um quadrado preto for marcado com ambas as letras, então não pode existir quadrado preto à sua esquerda (na mesma linha) e nem acima dele (na mesma coluna) o que é impossível. Isto significa que a diagonal intersecta o canto esquerdo superior deste quadrado, o que também é impossível porque 199 e 991 são primos entre si.

Alguém poderia me explicar o que o fato de 199 e 991 serem primos entre si interfere na solução do problema?
gabriel93
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Mensagem por Tico V Seg 07 Jan 2013, 08:05

Vou dar um exemplo, desenhe ele para entender melhor. imagine o retângulo 4x6. é possível dividir ele em 4 retângulos idênticos semelhantes ao original, em cima a esquerda, em cima a direita, embaixo a esquerda e embaixo a direita (4 porque estamos tratando de área, uma vez que a razão entre os lados é 2, a razão entre as áreas é 4).
Logo, quando nós traçarmos a diagonal, ela vai passar por um vértice (no caso o vértice que fica na metade de tudo)
O fato de serem primos entre si implica que não existe nenhuma subdivisão em retângulos idênticos, o que implica que a diagonal não vai tocar em nenhum vértice.

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Quadrados cruzados por uma diagonal Empty Re: Quadrados cruzados por uma diagonal

Mensagem por Tico V Seg 07 Jan 2013, 08:20

(se eles são primos entre si, não é possível subdividir o retângulo em retângulinhos semelhantes, se a diagonal tocasse em algum vértice, o retângulo formado do vértice de origem até o vértice atingido teria as mesmas proporções que o retângulo original)

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